Аналитическая геометрия и линейная алгебра

СУПЕР-ШПАРГАЛКА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

(Для студентов МИФИ, МФТИ на основе учебников Д.В. Беклемишева и В.А. Ильина/Э.Г. Позняка)

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Краткий справочник символов и обозначений

1.1. Основные понятия и операции

**Определения **

1. Вектор: Направленный отрезок. Важно: В физике различают свободные (переносимые параллельно), скользящие (вдоль линии действия) и связанные (приложенные к точке) векторы.
2. Нулевой вектор ($\vec{0}$): Вектор, у которого начало и конец совпадают.
3. Коллинеарные векторы: $\vec{a} \parallel \vec{b}$.
4. Компланарные векторы: Векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях.
5. Свободные векторы: Основной объект изучения в линейной алгебре.
6. Приложенные векторы: Используются в механике (сила).
7. Равные векторы: Одинаковая длина и направление.
8. Противоположный вектор ($-\vec{a}$):
9. Орт: Единичный вектор ($|\vec{e}| = 1$). Обозначение: $\hat{a}$.
10. Радиус-вектор: $\vec{r} = \overrightarrow{OM}$.
11. Базис: Упорядоченный набор линейно независимых векторов.
12. Ориентация тройки векторов: Правая (базис) — если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.
13. Биортогональный (взаимный) базис: $\{\vec{e}^i\}$ к $\{\vec{e}_i\}$: $(\vec{e}_i, \vec{e}^j) = \delta_i^j$. Важно: В криволинейных координатах (теория поля) это критически важно для разложения ковариантных и контравариантных компонент.

Понятия

1. Линейная комбинация:
2. Линейная зависимость/независимость:
3. Линейная оболочка: $\text{span}\{\vec{a}_1, \dots, \vec{a}_k\}$ — подпространство, порожденное векторами.
4. Выпуклая оболочка: Множество всех выпуклых комбинаций.
5. Аффинное пространство: Множество точек, сдвинутое относительно линейного пространства. Важно: Начало координат в аффинном пространстве не выделено.

Аксиомы (линейных операций)

Структура векторного пространства. Добавлено:

• Дистрибутивность относительно сложения скаляров и векторов (уже была, но стоит выделить как ключ).

Теоремы

1. Теорема о разложении по базису: Координаты вектора в данном базисе единственны.
2. Критерий линейной зависимости: Система из $n$ векторов линейно зависима, если один из них является линейной комбинацией остальных.
3. Теорема о ранге: Максимальное число линейно независимых векторов системы равно рангу матрицы, составленной из их координат.
4. Лемма о замене (Штейница): Если система $\{\vec{a}_i\}$ линейно независима и каждый $\vec{a}_i$ выражается через $\{\vec{b}_j\}$, то $m \le n$.

Формулы

1. Сложение: Правило треугольника и параллелограмма.
2. Умножение на число:
3. Модуль (длина): $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$.
4. Направляющие косинусы: $\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|}$.
5. Координаты вектора по точкам: $\overrightarrow{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$.

1.2. Системы координат и простейшие задачи

Определения

1. Декартова система координат (ДСК): Базируется на ортонормированном базисе.
2. Аффинная система координат: Базируется на произвольном (не обязательно ортогональном) базисе.
3. Полярная, цилиндрическая, сферическая системы:
   • Важно: В сферической системе в физике и математике часто меняют местами $\theta$ и $\varphi$ (физики часто берут $\theta$ — полярный угол от оси $z$, математики — азимутальный). Будьте внимательны к контексту задачи.
4. Метрический тензор ($g_{ij}$): $g_{ij} = \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j$. Определяет правило измерения длин и углов в криволинейных координатах. В ортонормированном базисе $g_{ij} = \delta_{ij}$.

Формулы

1. Деление отрезка в отношении $\lambda$: $\vec{r} = \frac{\vec{r}_1 + \lambda \vec{r}_2}{1 + \lambda}$ ($\lambda = \frac{M_1M}{MM_2}$).
2. Расстояние между точками: $d = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$.
3. Связь координат:
   • Цилиндрические: $x = \rho\cos\varphi$, $y = \rho\sin\varphi$.
   • Сферические: $x = r\sin\theta\cos\varphi$, $y = r\sin\theta\sin\varphi$, $z = r\cos\theta$.
4. Якобиан преобразования: Используется при замене переменных в кратных интегралах.
   • Для сферических координат: $J = r^2 \sin\theta$.
   • Для цилиндрических: $J = \rho$.

1.3. Произведения векторов

Определения

1. Скалярное произведение: $(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$.
2. Векторное произведение: $\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}]$. Ключевое свойство: это псевдовектор (аксиальный вектор). При отражении координат (инверсии) полярные векторы меняют знак, а псевдовекторы — нет (или наоборот, в зависимости от определения).
3. Смешанное произведение: $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

Свойства

• Скалярное: Коммутативно.
• Векторное: Антикоммутативно ($\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}$). Не ассоциативно.
• Смешанное: Циклическая перестановка не меняет знак: $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}) = (\vec{c}, \vec{a}, \vec{b})$. Перестановка двух векторов меняет знак.

Теоремы

1. Геометрический смысл: Площадь параллелограмма, объем параллелепипеда.
2. Формула Лагранжа (двойное векторное): $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$. Важно: Запомните мнемоническое правило: "bac минус cab".
3. Неравенство Коши-Буняковского: $|(\vec{a}, \vec{b})| \le |\vec{a}||\vec{b}|$, равенство при коллинеарности.
4. Тождество Якоби (для векторного произведения): $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) + \vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a}) + \vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b}) = 0$.

Формулы (в правом ортонормированном базисе)

1. Скалярное: $(\vec{a}, \vec{b}) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$.
2. Векторное через определитель: $[\vec{a}, \vec{b}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$.
3. Смешанное: $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$.
4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$.
5. Объем тетраэдра: $V = \frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})|$.

1.4. Типовые задачи и алгоритмы решения

Задачи на линейную зависимость и базис

1. Алгоритм: Составить матрицу из координат векторов-строк (или столбцов).
2. Действие: Найти ранг матрицы (методом Гаусса).
3. Вывод: Если ранг < количества векторов — зависимы. Базис — максимальная линейно независимая подсистема.

Задачи на переход между базисами

1. Дано: Старый базис $\{\vec{e}_i\}$, новый $\{\vec{f}_j\}$, и выражение $\vec{f}_j = \sum_i P_{ij} \vec{e}_i$.
2. Цель: Найти координаты вектора $\vec{x}$ в новом базисе.
3. Формула: $\vec{x}_{\text{нов}} = P^{-1} \vec{x}_{\text{ст}}$, где $P$ — матрица перехода (столбцы — координаты новых базисных векторов в старом). Ошибка: Часто путают, куда ставить $P$ и $P^{-1}$.

Задачи на векторное и смешанное произведение

1. Вычисление площади: Всегда брать модуль, если не требуется ориентация.
2. Проверка компланарности: Смешанное произведение = 0.
3. Поиск ортогонального вектора: $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$.
4. Двойное векторное: Применять формулу Лагранжа, не пытаться раскрывать скобки как в алгебре.

1.5. Типовые ошибки

1. Путаница между точкой и вектором: Уравнение плоскости $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) = 0$ — это скалярное произведение, а не умножение точек.
2. Коммутативность векторного произведения: $\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$ (знак минус!).
3. Ассоциативность векторного произведения: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$. Всегда используйте формулу Лагранжа.
4. Ориентация базиса: При вычислении векторного произведения через определитель результат получается ориентированным относительно правого базиса. Если базис левый, определитель даст вектор с противоположным знаком.
5. Модуль в смешанном произведении: Объем — это модуль смешанного произведения. Само произведение может быть отрицательным, если тройка векторов левая.
6. Проекция вектора: Проекция — это число, а не вектор. Векторная проекция — это $\text{пр}_{\vec{b}}\vec{a} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$.
7. Сферические координаты: Путаница в обозначениях $\theta$ и $\phi$ (математическая vs физическая нотация). Всегда уточняйте, какой угол от оси $z$, а какой в плоскости $xy$.

1.6. Мнемонические правила и лайфхаки

1. Определитель для векторного произведения: "Разложи по первой строке: $\vec{i}(a_y b_z - a_z b_y) - \vec{j}(a_x b_z - a_z b_x) + \vec{k}(a_x b_y - a_y b_x)$".
   • Лайфхак: Запомните циклическую перестановку: $x \to y \to z$. Для координаты $x$: берем $y$ и $z$: $a_y b_z - a_z b_y$.
2. Формула Лагранжа (двойное векторное): $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$.
   • Мнемоника: "БАЦ минус ЦАБ" (Bac — Cab). Вектор, стоящий в середине ($\vec{b}$), умножается на скаляр крайних, минус внешний вектор ($\vec{c}$) на скаляр первых двух.
3. Смешанное произведение: "Объем параллелепипеда". Если тройка правая — знак "+".
4. Запоминание правой тройки: Правый винт (буравчик): вращаем от $\vec{a}$ к $\vec{b}$, винт идет в сторону $\vec{c}$.

1.7. Приложения в физике и механике

1. Кинематика: Скорость $\vec{v} = \dot{\vec{r}}$, ускорение $\vec{a} = \ddot{\vec{r}}$.
2. Момент силы: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ (векторное произведение радиуса-вектора точки приложения на силу).
3. Момент импульса: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
4. Сила Лоренца: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$. Здесь $\vec{v} \times \vec{B}$ — определяет направление силы перпендикулярно скорости и полю.
5. Градиент, дивергенция, ротор: (Связь с оператором $\nabla$).
   • $\text{rot} \, \vec{A} = \nabla \times \vec{A}$ — формально векторное произведение оператора набла на векторное поле.

2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ)

Краткий справочник символов и обозначений

2.1. Плоскость в пространстве

Определения

1. Уравнение поверхности: $F(x, y, z) = 0$.
2. Плоскость: Поверхность первого порядка ($F$ — линейный многочлен).
3. Нормальный вектор плоскости ($\vec{n}$): Ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Определен с точностью до ненулевого скалярного множителя.
4. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A, B, C)$.
5. Нормированное (нормальное) уравнение: $x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma - p = 0$, где $p \ge 0$ — расстояние от начала координат до плоскости, $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ — направляющие косинусы нормали.
6. След плоскости: Линия пересечения плоскости с координатной плоскостью ($Oxy$, $Oxz$, $Oyz$).
7. Биссекторная плоскость: ГМТ, равноудаленных от двух заданных плоскостей (два семейства, соответствующих знакам).

Формулы

1. Через точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и нормаль $\vec{n}(A,B,C)$: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
2. Через три точки $M_1, M_2, M_3$ (условие компланарности): $$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0.$$
3. В отрезках на осях: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (плоскость пересекает оси в точках $(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$).
4. Параметрическое (через точку $M_0$ и два направляющих вектора $\vec{u}, \vec{v}$): $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \vec{v}s$.
5. Расстояние от точки $M_0$ до плоскости: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
6. Отклонение точки от плоскости: $\delta = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (знак выбирается так, чтобы $D \le 0$ в нормальном виде).
7. Угол между плоскостями: $\cos\phi = \frac{|(\vec{n}_1, \vec{n}_2)|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$.
8. Условия взаимного расположения двух плоскостей ($\Pi_1$ и $\Pi_2$):
   • Параллельны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$.
   • Совпадают: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$.
   • Перпендикулярны: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

2.2. Прямая на плоскости (2D) и в пространстве (3D)

Определения

1. Направляющий вектор прямой ($\vec{s}$): Любой ненулевой вектор, параллельный прямой.
2. Прямая на плоскости: Линия первого порядка, задаваемая линейным уравнением $Ax+By+C=0$.
3. Скрещивающиеся прямые: Прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости (не пересекаются и не параллельны).
4. Проекция прямой на плоскость: Множество проекций всех точек прямой.

Формулы (для прямой на плоскости)

1. Общее: $Ax + By + C = 0$, $\vec{n} = (A, B)$.
2. С угловым коэффициентом: $y = kx + b$, $k = \tan\alpha$ (угол наклона к оси $Ox$).
3. В отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
4. Каноническое (через $M_0(x_0,y_0)$ и $\vec{s}(m,n)$): $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n}$.
5. Через две точки: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.
6. Параметрическое: $\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \end{cases}$.
7. Нормальное: $x\cos\alpha + y\sin\alpha - p = 0$.

Формулы (для прямой в пространстве)

1. Каноническое: $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{p}$, $\vec{s} = (l, m, p)$.
2. Параметрическое: $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$.
3. Как пересечение двух плоскостей: $\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$.
   • Направляющий вектор: $\vec{s} = [\vec{n}_1, \vec{n}_2]$ (векторное произведение нормалей).
4. Через две точки: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$.

2.3. Взаимное расположение и метрические задачи

Теоремы (условия взаимного расположения)

1. Прямая и плоскость:
   • Параллельность: $\vec{s} \perp \vec{n}$ (скалярное произведение $= 0$) И точка прямой не принадлежит плоскости.
   • Принадлежность: $\vec{s} \perp \vec{n}$ И точка прямой принадлежит плоскости.
   • Перпендикулярность: $\vec{s} \parallel \vec{n}$ (координаты пропорциональны).
2. Две прямые в пространстве:
   • Параллельны: $\vec{s}_1 \parallel \vec{s}_2$.
   • Пересекаются: $\vec{s}_1 \nparallel \vec{s}_2$ И $(\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2) = 0$ (смешанное произведение = 0).
   • Скрещиваются: $(\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2) \neq 0$.

Формулы (расстояния и углы)

1. Расстояние от точки до прямой (в пространстве): $$d = \frac{|[\overrightarrow{M_0M_1}, \vec{s}]|}{|\vec{s}|}.$$ Геометрический смысл: высота параллелограмма, построенного на векторе точки и направляющем векторе.
2. Расстояние между параллельными прямыми: $d = \frac{|[\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{s}]|}{|\vec{s}|}$.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми: $$d = \frac{|(\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2)|}{|[\vec{s}_1, \vec{s}_2]|}.$$ Геометрический смысл: высота параллелепипеда, построенного на трех векторах, деленная на площадь основания.
4. Угол между прямыми: $\cos\phi = \frac{|(\vec{s}_1, \vec{s}_2)|}{|\vec{s}_1||\vec{s}_2|}$.
5. Угол между прямой и плоскостью: $$\sin\phi = \frac{|(\vec{s}, \vec{n})|}{|\vec{s}||\vec{n}|}.$$ Важно: Синус, а не косинус!

2.4. Пучки, связки и специальные уравнения

Определения

1. Пучок прямых (на плоскости): Совокупность всех прямых, проходящих через фиксированную точку (центр пучка).
2. Пучок плоскостей: Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну прямую (ось пучка).
3. Связка плоскостей: Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну точку.

Формулы

1. Пучок прямых (через пересечение двух): $(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0$.
   • Лямбда-форма: позволяет описать все прямые пучка, кроме одной (той, для которой коэффициент при $\lambda$ "уходит").
2. Пучок плоскостей: $(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0$.
3. Связка плоскостей: $\lambda\Pi_1 + \mu\Pi_2 + \nu\Pi_3 = 0$ (линейная комбинация трех плоскостей, пересекающихся в одной точке).

Специальные приемы

1. Уравнение биссекторных плоскостей: $$\frac{A_1x+B_1y+C_1z+D_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}} = \pm \frac{A_2x+B_2y+C_2z+D_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$
   • Знак "$+$" — биссектриса острого (или тупого) угла, знак "$-$" — соответственно перпендикулярная биссектриса.
2. Проекция точки на плоскость/прямую: Решается как нахождение основания перпендикуляра (составление параметрического уравнения перпендикуляра и подстановка в уравнение плоскости).

Типовые задачи и алгоритмы решения

1. Составление уравнения плоскости:
   • По трем точкам: Составить определитель (формула 2.1.2).
   • По точке и двум векторам: Использовать параметрику или смешанное произведение.
   • Через точку параллельно данной плоскости: Взять нормаль данной плоскости.
2. Составление уравнения прямой:
   • По двум точкам: Каноническое уравнение.
   • Как пересечение двух плоскостей: Найти $\vec{s} = [\vec{n}_1, \vec{n}_2]$ и любую точку (решив систему).
3. Поиск расстояния между скрещивающимися прямыми:
   • Алгоритм: Найти направляющие векторы $\vec{s}_1, \vec{s}_2$, соединить любые точки $M_1, M_2$ на прямых, вычислить модуль смешанного произведения и модуль векторного произведения направляющих.
4. Нахождение углов:
   • Между плоскостями: По нормалям (косинус).
   • Прямая-плоскость: По синусу через скалярное произведение $\vec{s}$ и $\vec{n}$.

Типовые Ошибки

1. Синус vs Косинус: В формуле угла между прямой и плоскостью студенты часто по инерции пишут косинус. Запомните: угол между прямой и плоскостью — это дополнение до $90^\circ$ к углу между прямой и нормалью, поэтому используется синус.
2. Направляющий вектор из пересечения плоскостей: Ошибка: берут нормали плоскостей как направляющие векторы прямой. Правило: $\vec{s} = [\vec{n}_1, \vec{n}_2]$ (векторное произведение нормалей).
3. Потеря модуля: При вычислении расстояний (особенно между скрещивающимися прямыми) забывают поставить модуль на смешанное произведение, получая отрицательное "расстояние".
4. Параллельность прямой и плоскости: Достаточно условия $\vec{s} \cdot \vec{n} = 0$, но забывают проверить, что прямая не лежит в плоскости. Если точка прямой принадлежит плоскости, то ответ "прямая лежит в плоскости", а не "параллельна".
5. Пучок плоскостей: При использовании формулы $\Pi_1 + \lambda \Pi_2 = 0$ теряют плоскость $\Pi_2$ (ту, которая соответствует $\lambda \to \infty$). Для полного покрытия пучка нужно использовать линейную комбинацию $\alpha\Pi_1 + \beta\Pi_2 = 0$ с двумя параметрами.
6. Нормировка уравнения: При вычислении отклонения точки от плоскости часто забывают привести уравнение к нормальному виду (разделить на длину нормали), хотя для расстояния модуль это не критично, но для знака отклонения — критично.
7. Скрещивающиеся прямые: Ошибка в определении: путают с пересекающимися. Критерий: смешанное произведение $\neq 0$.

Мнемонические правила (Лайфхаки)

1. Как запомнить формулу расстояния от точки до прямой в пространстве: "Длина векторного произведения на направляющий вектор, деленная на длину направляющего". Представляйте площадь параллелограмма ($|[\vec{a}, \vec{b}]|$) и основание ($|\vec{s}|$). Высота = Площадь / Основание.
2. Угол между прямой и плоскостью: Если прямая "ложится" на плоскость ($\phi = 0$), то $\sin\phi = 0$, $\cos\phi = 1$. Если прямая перпендикулярна ($\phi = 90^\circ$), то $\sin\phi = 1$, $\cos\phi = 0$. Поскольку в ответе требуется острый угол, синус растет от 0 до 1 — логично.
3. Переход от общего уравнения прямой (как пересечения плоскостей) к каноническому:
   • Шаг 1: Найти $\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ (крест нормалей).
   • Шаг 2: Найти точку. Положить удобную координату (например, $z=0$) и решить систему из двух уравнений относительно $x, y$.
   • Шаг 3: Подставить в формулу.
4. Биссекторные плоскости: Знак "плюс" дает плоскость, которая делит угол, внутри которого лежит начало координат (если $D_1$ и $D_2$ одного знака).

Приложения в физике и инженерии

1. Геометрическая оптика: Законы отражения и преломления (нормаль к поверхности, угол падения).
2. Механика: Условия равновесия твердого тела (плоскости действия сил, оси моментов).
3. Теория поля: Уравнения линий тока (касательные к векторному полю) — решаются как дифференциальные уравнения прямой.
4. Компьютерная графика: Алгоритмы отсечения (Clipping) по плоскостям пирамиды видимости, расчет освещения (нормали к полигонам). Ниже представлен доработанный вариант Главы III с учетом требований к математической строгости и физической интуиции, ожидаемых от студентов МФТИ, МИФИ и МГУ. Добавлены важные разделы: инварианты и классификация, оптические свойства, линейчатые поверхности (ключевое для физиков-оптиков и механиков), а также расширены алгоритмы и типовые ошибки.

Нумерация разделов приведена к формату 3.1, 3.2, 3.3.

3. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Краткий справочник символов и обозначений

3.1. Линии второго порядка на плоскости

**Определения **

1. Линия 2-го порядка: Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: $$a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_1x + 2a_2y + a_0 = 0.$$ Важно: Коэффициенты $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ не равны нулю одновременно.

2. Квадратичная форма: $Q(x,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2$.

3. Центр линии: Точка $(x_0, y_0)$, удовлетворяющая системе: $$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_1 = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_2 = 0 \end{cases}.$$ Типы: Центральные ($\Delta = a_{11}a_{22} - a_{12}^2 \neq 0$) и нецентральные ($\Delta = 0$) линии.

4. Диаметр линии: Геометрическое место середин параллельных хорд.

5. Сопряженные направления: Направления $(l, m)$ и $(l', m')$ называются сопряженными, если: $$a_{11}ll' + a_{12}(lm' + l'm) + a_{22}mm' = 0.$$

6. Главные направления: Направления, сопряженные перпендикулярным им самим. Находятся как собственные векторы матрицы квадратичной формы.

7. Асимптотическое направление: Направление, удовлетворяющее $Q(l, m) = 0$.

8. Асимптота: Прямая, проходящая через центр линии и имеющая асимптотическое направление (для гиперболы).

9. Фокус, директриса, эксцентриситет: Характеристики, определяющие эллипс, гиперболу и параболу через отношение расстояний.

10. Оптическое свойство:

    • Эллипс: Луч из одного фокуса отражается в другой.
    • Парабола: Луч из фокуса отражается параллельно оси.
    • Гипербола: Луч, направленный к одному фокусу, отражается так, что кажется исходящим из другого.

**Понятия **

1. Тип линии (по знаку $I_2 = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$):

   • $I_2 > 0$ — эллиптический тип (эллипс, окружность, точка, мнимый эллипс).
   • $I_2 < 0$ — гиперболический тип (гипербола, пара пересекающихся прямых).
   • $I_2 = 0$ — параболический тип (парабола, пара параллельных/совпадающих прямых, мнимые параллельные прямые).

2. Инварианты:

   • $I_1 = a_{11} + a_{22}$.
   • $I_2 = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$.
   • $I_3 = \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_1 \\ a_{12} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{pmatrix}$.
   • Полуинвариант: $K_1 = I_1 I_3 - I_2 (a_1^2 + a_2^2)$ (используется для классификации параболического типа).

3. Вырожденные линии: $I_3 = 0$ (распадаются на пару прямых или точку).

4. Мнимая линия: Уравнение не имеет действительных точек (например, $x^2 + y^2 = -1$).

**Теоремы **

1. Теорема 3.1 (о приведении к каноническому виду): Любое уравнение 2-го порядка с помощью поворота осей (на угол $\varphi$, определяемый $\tan 2\varphi = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$) и параллельного переноса приводится к одному из канонических видов.

2. Теорема 3.2 (о диаметрах): Все диаметры центральной линии проходят через ее центр. Диаметры параболы параллельны ее оси.

3. Теорема 3.3 (о главных направлениях): Для любой линии 2-го порядка существует хотя бы одна пара взаимно перпендикулярных сопряженных направлений (главные направления).

4. Теорема 3.4 (о касательных): Через любую точку вне эллипса/гиперболы можно провести две касательные; через точку на линии — одну; внутри эллипса касательных нет.

5. Теорема 3.5 (оптическая): Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы являются следствием их геометрического определения через фокусы.

6. Теорема 3.6 (об эксцентриситете): Для эллипса $0 < \varepsilon < 1$, для гиперболы $\varepsilon > 1$, для параболы $\varepsilon = 1$.

**Формулы **

1. Канонические уравнения:

   • Эллипс: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \ge b > 0$). Окружность: $a = b$.
   • Гипербола: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (действительная ось — $Ox$).
   • Парабола: $y^2 = 2px$ ($p > 0$ — параметр).

2. Фокусы и эксцентриситет:

   • Эллипс: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, $\varepsilon = c/a$, фокусы $F_{1,2}(\pm c, 0)$.
   • Гипербола: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\varepsilon = c/a$, фокусы $F_{1,2}(\pm c, 0)$.
   • Парабола: $p$ — расстояние от фокуса до директрисы, фокус $F(p/2, 0)$.

3. Директрисы:

   • Эллипс/гипербола: $x = \pm a/\varepsilon$.
   • Парабола: $x = -p/2$.

4. Асимптоты гиперболы: $y = \pm \frac{b}{a}x$.

5. Касательная в точке $(x_0, y_0)$ на линии:

   • Эллипс/гипербола: $\displaystyle \frac{xx_0}{a^2} \pm \frac{yy_0}{b^2} = 1$.
   • Парабола: $yy_0 = p(x + x_0)$.

6. Условие касания прямой $y = kx + l$:

   • Эллипс: $l^2 = a^2k^2 + b^2$.
   • Гипербола: $l^2 = a^2k^2 - b^2$.
   • Парабола: $l = \frac{p}{2k}$ (при $k \neq 0$).

7. Уравнение диаметра, сопряженного направлению $(l, m)$: $$l(a_{11}x + a_{12}y + a_1) + m(a_{12}x + a_{22}y + a_2) = 0.$$

8. Поляра точки $(x_1, y_1)$:

   • Для эллипса/гиперболы: $\displaystyle \frac{xx_1}{a^2} \pm \frac{yy_1}{b^2} = 1$.
   • Для параболы: $yy_1 = p(x + x_1)$.

3.2. Поверхности второго порядка

**Определения **

1. Поверхность 2-го порядка: Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: $$\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}x_ix_j + 2\sum_{i=1}^3 b_i x_i + c = 0,$$ где $a_{ij} = a_{ji}$, не все равны нулю.

2. Центр поверхности: Решение системы $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial F}{\partial z} = 0$.

3. Вершина: Точка пересечения поверхности с осью симметрии.

4. Линейчатая поверхность: Поверхность, целиком составленная из прямых линий (однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид, цилиндры, конус).

5. Асимптотический конус: Для гиперболоидов — конус, к которому поверхность стремится на бесконечности.

6. Эллипсоид вращения: Получается вращением эллипса вокруг одной из осей.

7. Параболоид вращения: Вращение параболы вокруг оси симметрии.

**Теоремы **

1. Теорема 3.7 (классификация): Любая поверхность 2-го порядка аффинным преобразованием может быть приведена к одному из 17 канонических видов. Основные невырожденные типы (5 штук):

   • Эллипсоид.
   • Однополостный гиперболоид.
   • Двуполостный гиперболоид.
   • Эллиптический параболоид.
   • Гиперболический параболоид.

2. Теорема 3.8 (о сечениях): Сечения невырожденных поверхностей 2-го порядка плоскостями являются линиями 2-го порядка (эллипсы, гиперболы, параболы).

3. Теорема 3.9 (о линейчатости): Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид являются дважды линейчатыми поверхностями — через каждую их точку проходят две различные прямые, целиком лежащие на поверхности.

4. Теорема 3.10 (о каноническом виде): С помощью ортогонального преобразования (поворота) и параллельного переноса уравнение поверхности 2-го порядка может быть приведено к виду: $$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + 2b_1 x' + 2b_2 y' + 2b_3 z' + c = 0,$$ где $\lambda_i$ — собственные значения матрицы квадратичной формы.

**Формулы **

1. Канонические уравнения:

   • Эллипсоид: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$.
   • Однополостный гиперболоид: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$.
   • Двуполостный гиперболоид: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$.
   • Эллиптический параболоид: $\displaystyle \frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{q} = 2z$ ($p,q > 0$).
   • Гиперболический параболоид: $\displaystyle \frac{x^2}{p} - \frac{y^2}{q} = 2z$ ($p,q > 0$).
   • Конус: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$.
   • Эллиптический цилиндр: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
   • Гиперболический цилиндр: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
   • Параболический цилиндр: $y^2 = 2px$.

2. Касательная плоскость в точке $(x_0, y_0, z_0)$ на поверхности:

   • Эллипсоид/гиперболоиды: $\displaystyle \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} \pm \frac{zz_0}{c^2} = 1$.
   • Эллиптический параболоид: $\displaystyle \frac{x_0x}{p} + \frac{y_0y}{q} = z + z_0$.
   • Гиперболический параболоид: $\displaystyle \frac{x_0x}{p} - \frac{y_0y}{q} = z + z_0$.

3. Асимптотический конус: Для однополостного и двуполостного гиперболоидов: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$.

4. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида:

   • Первое семейство: $\begin{cases} \frac{x}{a} + \frac{z}{c} = \lambda\left(1 - \frac{y}{b}\right) \\ \frac{x}{a} - \frac{z}{c} = \frac{1}{\lambda}\left(1 + \frac{y}{b}\right) \end{cases}$.
   • Второе семейство: аналогично с заменой знаков.

5. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида:

   • Первое семейство: $\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{p}} + \frac{y}{\sqrt{q}} = 2\lambda \\ \frac{x}{\sqrt{p}} - \frac{y}{\sqrt{q}} = \frac{z}{\lambda} \end{cases}$.
   • Второе семейство: аналогично.

Типовые задачи и алгоритмы решения

Для линий второго порядка

1. Приведение уравнения к каноническому виду:

   • Шаг 1: Найти угол поворота $\tan 2\varphi = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$ (если $a_{12} \neq 0$).
   • Шаг 2: Выполнить поворот координат (перейти к $x', y'$).
   • Шаг 3: Выделить полные квадраты по $x'$ и $y'$.
   • Шаг 4: Выполнить параллельный перенос.
   • Альтернатива: Использовать метод инвариантов (определить тип по $I_2$, $I_3$, $K_1$).

2. Определение типа линии по инвариантам:

   • $I_2 > 0$: эллиптический тип.
     • $I_3 \neq 0$: эллипс (или мнимый эллипс).
     • $I_3 = 0$: точка (или мнимые пересекающиеся прямые).
   • $I_2 < 0$: гиперболический тип.
     • $I_3 \neq 0$: гипербола.
     • $I_3 = 0$: пара пересекающихся прямых.
   • $I_2 = 0$: параболический тип.
     • $K_1 < 0$: парабола.
     • $K_1 > 0$: пара параллельных прямых (мнимых или действительных).
     • $K_1 = 0$: пара совпадающих прямых.

3. Нахождение фокусов и директрис:

   • Привести к каноническому виду.
   • Определить $a, b, c$ по формулам.
   • Вычислить $\varepsilon = c/a$.
   • Найти фокусы и директрисы по каноническим формулам.

4. Составление уравнения касательной:

   • Если точка на линии — использовать формулу "разделенного" уравнения.
   • Если точка вне линии — решить систему "линия + условие касания".

Для поверхностей второго порядка

1. Исследование формы поверхности:

   • Построить сечения плоскостями $x = \text{const}$, $y = \text{const}$, $z = \text{const}$.
   • Для эллипсоида: все сечения — эллипсы.
   • Для гиперболоидов: сечения плоскостями $z = \text{const}$ — эллипсы, сечения $x = \text{const}$ или $y = \text{const}$ — гиперболы.
   • Для параболоидов: сечения $z = \text{const}$ — эллипсы/гиперболы, сечения $x = \text{const}$ или $y = \text{const}$ — параболы.

2. Нахождение прямолинейных образующих:

   • Записать каноническое уравнение.
   • Разложить левую часть на множители (для параболоида) или представить в виде произведения двух линейных форм (для однополостного гиперболоида).
   • Ввести параметр.

3. Составление уравнения касательной плоскости:

   • Проверить, что точка принадлежит поверхности.
   • Использовать формулу "разделенного" уравнения.

Типовые ошибки (расширенный список)

1. Путаница между $a$ и $b$: В эллипсе часто путают, где большая полуось ($a$) и где малая ($b$). В каноническом уравнении $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ предполагается $a \ge b$.

2. Эксцентриситет гиперболы: Запоминают $\varepsilon = c/a$, но забывают, что $c^2 = a^2 + b^2$, а не $a^2 - b^2$.

3. Фокусы параболы: Путают $p$ в уравнении $y^2 = 2px$: фокус находится в $(p/2, 0)$, а не в $(p, 0)$.

4. Директрисы: Для эллипса и гиперболы директрисы находятся на расстоянии $a/\varepsilon$ от центра, а не $c/\varepsilon$.

5. Параболический тип: Студенты часто игнорируют возможность вырождения (параллельные прямые) при $I_2 = 0$.

6. Поворот осей: Ошибка в формуле $\tan 2\varphi = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$. Неправильно определяют четверть угла.

7. Сечения поверхностей: При построении сечения $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{z^2}{c^2}$ забывают, что для существования эллипса правая часть должна быть положительной, и пропускают область определения.

8. Линейчатость: Ошибочно полагают, что эллиптический параболоид тоже линейчатый. Это не так — линейчаты только гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид.

9. Касательная плоскость: Применяют формулу $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1$ для поверхности, забывая про $z$-компоненту.

10. Мнимые линии: Считают, что если дискриминант отрицателен, то "линии нет". На самом деле это мнимый эллипс (например, $x^2 + y^2 = -1$), который в математике считается линией второго порядка (хотя действительных точек нет).

Мнемонические правила

1. Эксцентриситет: "Эллипс — Единица с минусом ($\varepsilon < 1$), Гипербола — Единица с плюсом ($\varepsilon > 1$), Парабола — Ровно Единица ($\varepsilon = 1$)."

2. Формула касательной: "В каноническом уравнении одну букву $x$ и $y$ заменяешь на координаты точки, а вторую оставляешь переменной". То есть $\frac{x^2}{a^2} \to \frac{xx_0}{a^2}$.

3. Линейчатые поверхности: "Гиперболоид и седло (гиперболический параболоид) имеют две линейки (два семейства образующих)".

4. Знаки в гиперболоидах: "Однополостный — сумма квадратов равна 1 плюс $z^2$ (знак минус перед $z^2$), двуполостный — сумма квадратов равна $-1$ (минус перед единицей)". Запомнить: "Один минус — одна полость, два минуса — две полости" (в уравнении двуполостного гиперболоида два отрицательных члена после переноса).

5. Параболоид: "Эллиптический — чашка (все сечения — эллипсы), гиперболический — седло (седловидная форма)".

Приложения в физике и инженерии

1. Небесная механика: Орбиты планет — эллипсы (первый закон Кеплера). Траектории космических аппаратов — конические сечения (эллипс, парабола, гипербола в зависимости от энергии).

2. Оптика: Параболические зеркала (собирают параллельный пучок в фокус), эллиптические зеркала (передают изображение из фокуса в фокус), гиперболические зеркала (используются в телескопах).

3. Электродинамика: Волноводы — сечения параболическими и гиперболическими цилиндрами.

4. Механика: Поверхности уровня потенциала (эллипсоиды), форма капли во вращающейся жидкости (параболоид вращения).

5. Архитектура и строительство: Гиперболические параболоиды ("седла") используются в конструкции большепролетных покрытий (зданий, стадионов). Однополостные гиперболоиды — в башнях (например, Шуховская башня).

6. Компьютерная графика: Построение сцен с использованием квадратичных поверхностей (CSG-моделирование), ray tracing для эллипсоидов, параболоидов.

Дополнительные материалы для шпаргалки

1. Таблица классификации линий по инвариантам:

2. Таблица канонических форм поверхностей:

Ниже представлен доработанный вариант Главы IV с учетом требований к математической строгости и вычислительной культуре, ожидаемых от студентов МФТИ, МИФИ и МГУ. Добавлены важные разделы: собственные значения и собственные векторы (ключевой мост к дальнейшим курсам), матричные уравнения, псевдообратная матрица (для задач оптимизации), а также расширены алгоритмы и типовые ошибки.

Нумерация разделов приведена к формату 4.1, 4.2, 4.3.

4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Краткий справочник символов и обозначений

4.1. Матрицы и операции над ними

**Определения **

1. Матрица размера $m \times n$: Прямоугольная таблица чисел $A = (a_{ij})$, $i = 1..m$, $j = 1..n$.

   • Важно: В программировании — двумерный массив; в математике — линейный оператор в выбранных базисах.

2. Квадратная матрица порядка $n$: $m = n$.

3. Главная диагональ: Элементы $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$.

4. Побочная диагональ: Элементы $a_{1n}, a_{2,n-1}, \dots, a_{n1}$.

5. Транспонированная матрица ($A^T$): $(A^T)_{ij} = a_{ji}$.

6. Нулевая матрица ($0$): Все элементы равны нулю.

7. Единичная матрица ($E$ или $I$): Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

8. Диагональная матрица: $a_{ij} = 0$ при $i \neq j$.

9. Треугольная матрица:

   • Верхняя: $a_{ij} = 0$ при $i > j$.
   • Нижняя: $a_{ij} = 0$ при $i < j$.

10. Симметричная матрица: $A^T = A$.

11. Кососимметричная (антисимметричная) матрица: $A^T = -A$. На диагонали обязательно нули.

12. Ортогональная матрица: $A^T A = A A^T = E$. Столбцы (строки) образуют ортонормированный базис.

13. Унитарная матрица: $A^* A = A A^* = E$, где $A^* = \bar{A}^T$.

14. Эрмитова матрица: $A^* = A$ (для вещественных — симметричная).

15. Нормальная матрица: $A A^* = A^* A$. Включает симметричные, ортогональные, эрмитовы, унитарные.

16. Вырожденная (особенная) матрица: $\det A = 0$.

17. Невырожденная (неособенная) матрица: $\det A \neq 0$.

18. След матрицы: $\operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^n a_{ii}$.

19. Ступенчатая матрица: Все ненулевые строки расположены выше нулевых; ведущий элемент каждой строки находится правее ведущего элемента строки выше.

20. Блочная матрица: Матрица, разделённая на подматрицы (блоки).

**Понятия **

1. Равные матрицы: Одинакового размера с равными элементами.

2. Коммутирующие (перестановочные) матрицы: $AB = BA$.

3. Эквивалентные матрицы: Получаются друг из друга элементарными преобразованиями строк/столбцов.

4. Ранг матрицы ($\operatorname{rk} A$):

   • Максимальный порядок ненулевого минора.
   • Максимальное число линейно независимых строк (столбцов).
   • Размерность образа линейного оператора.

5. Элементарные преобразования:

   • Перестановка строк/столбцов.
   • Умножение строки/столбца на ненулевое число.
   • Прибавление к строке/столбцу другой строки/столбца, умноженной на число.

**Операции **

1. Сложение и умножение на число: Поэлементные.

2. Умножение матриц: $(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$ (число столбцов $A$ равно числу строк $B$).

3. Возведение в степень: $A^k = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k \text{ раз}}$ (только для квадратных).

4. Транспонирование: $(A^T)^T = A$, $(AB)^T = B^T A^T$.

5. След: $\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B$, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$.

6. Кронекеровское (прямое) произведение: $A \otimes B$ — блочная матрица размера $(mp) \times (nq)$, где $(A \otimes B)_{ij} = a_{ij} B$.

**Свойства умножения **

• Ассоциативность: $(AB)C = A(BC)$.
• Дистрибутивность: $A(B+C) = AB + AC$, $(A+B)C = AC + BC$.
• Некоммутативность: $AB \neq BA$ в общем случае.
• Отсутствие сокращения: Из $AB = AC$ не следует $B = C$ (даже если $A \neq 0$).

4.2. Определители

**Определения **

1. Детерминант (определитель) $\det A$: Числовая характеристика квадратной матрицы. Аксиоматически: полилинейная, антисимметричная по строкам/столбцам, нормированная $\det E = 1$.

2. Минор $M_{ij}$: Определитель матрицы, полученной вычёркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца.

3. Алгебраическое дополнение $A_{ij}$: $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$.

4. Минор порядка $k$: Определитель матрицы, составленной из $k$ строк и $k$ столбцов исходной матрицы.

5. Базисный минор: Ненулевой минор максимального порядка.

6. Окаймляющий минор: Минор порядка $k+1$, содержащий данный минор порядка $k$.

7. Определитель Грама: $\det G(\vec{a}_1, \dots, \vec{a}_k) = \det((\vec{a}_i, \vec{a}_j))$. Равен квадрату объёма $k$-мерного параллелепипеда.

**Свойства определителей **

1. $\det A^T = \det A$.
2. При перестановке двух строк (столбцов) знак меняется.
3. Если две строки (столбца) равны или пропорциональны, $\det = 0$.
4. Линейность по каждой строке (столбцу).
5. Прибавление к строке линейной комбинации других строк не меняет $\det$.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
7. $\det(kA) = k^n \det A$ (для $n \times n$).
8. $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.
9. $\det(A^{-1}) = 1 / \det A$.
10. $\det(A^*) = \overline{\det A}$.

**Теоремы **

1. Теорема 4.1 (Лапласа): Разложение по строке/столбцу: $$\det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij}.$$

2. Теорема 4.2 (о базисном миноре): Строки (столбцы), на которых построен базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

3. Теорема 4.3 (об определителе блочной матрицы):

   • Для $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}$: $\det = \det A \cdot \det D$.
   • Для $\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}$: $\det = (-1)^{mn} \det A \cdot \det B$ (если $A$ — $m \times m$, $B$ — $n \times n$).

4. Теорема 4.4 (формула Бине–Коши): Для матриц $A$ ($m \times n$) и $B$ ($n \times m$) при $m \le n$: $$\det(AB) = \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_m \le n} \det A_{[1..m; i_1..i_m]} \cdot \det B_{[i_1..i_m; 1..m]}.$$

**Формулы **

1. Для $2 \times 2$: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$.

2. Для $3 \times 3$ (правило Саррюса): $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.$$

3. Определитель Вандермонда: $$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$

4. Обратная матрица через алгебраические дополнения: $$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A},$$ где $\tilde{A}_{ij} = A_{ji}$ (присоединённая матрица).

4.3. Системы линейных уравнений

**Определения **

1. Система линейных уравнений (СЛУ): $$\begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}.$$

2. Матричная форма: $Ax = b$, где $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, $x \in \mathbb{R}^n$, $b \in \mathbb{R}^m$.

3. Однородная система: $Ax = 0$.

4. Неоднородная система: $Ax = b$, $b \neq 0$.

5. Совместная система: Имеет хотя бы одно решение.

6. Несовместная система: Не имеет решений.

7. Определённая система: Имеет единственное решение.

8. Неопределённая система: Имеет бесконечно много решений.

9. Основная матрица ($A$): Матрица коэффициентов.

10. Расширенная матрица ($\tilde{A}$): $A$, дополненная столбцом свободных членов.

11. Базисные переменные: Переменные, соответствующие столбцам с базисным минором.

12. Свободные переменные: Остальные переменные.

13. Фундаментальная система решений (ФСР): Базис пространства решений однородной системы. Число векторов ФСР = $n - \operatorname{rk} A$.

14. Общее решение: Выражение всех неизвестных через свободные переменные.

**Теоремы **

1. Теорема 4.5 (Кронекера–Капелли): Система $Ax = b$ совместна $\iff$ $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} \tilde{A}$.

2. Теорема 4.6 (о структуре общего решения): Общее решение неоднородной системы = частное решение + общее решение однородной: $x = x_0 + y$, где $y \in \ker A$.

3. Теорема 4.7 (о размерности пространства решений): $\dim \ker A = n - \operatorname{rk} A$.

4. Теорема 4.8 (Крамера): Для квадратной системы $Ax = b$ с $\det A \neq 0$ существует единственное решение: $$x_i = \frac{\det A_i}{\det A},$$ где $A_i$ — матрица $A$ с заменой $i$-го столбца на $b$.

5. Теорема 4.9 (о нетривиальной совместности однородной системы): Однородная квадратная система $Ax = 0$ имеет нетривиальное решение $\iff$ $\det A = 0$.

**Формулы **

1. Метод Гаусса: Приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

2. Метод Гаусса–Жордана: Приведение к диагональному (или единичному) виду.

3. Решение через обратную матрицу: $x = A^{-1}b$ (для невырожденной квадратной системы).

4. Нахождение ФСР:

   • Привести $A$ к ступенчатому виду.
   • Выделить базисные и свободные переменные.
   • Выразить базисные через свободные.
   • Присвоить свободным переменным стандартные базисные векторы.

4.4. Собственные значения и собственные векторы

Определения

1. Собственное значение ($\lambda$): Число, для которого существует ненулевой вектор $\vec{v}$ такой, что $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.

2. Собственный вектор: Ненулевой вектор $\vec{v}$, удовлетворяющий $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.

3. Характеристический многочлен: $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda E)$.

4. Характеристическое уравнение: $\det(A - \lambda E) = 0$.

5. Спектр матрицы: Множество всех собственных значений (с учётом кратностей).

6. Алгебраическая кратность: Кратность $\lambda$ как корня характеристического многочлена.

7. Геометрическая кратность: Размерность собственного подпространства $\ker(A - \lambda E)$.

8. Подобные матрицы: $B = P^{-1}AP$. У них одинаковые собственные значения, определитель, след, характеристический многочлен.

Теоремы

1. Теорема 4.10 (о следе и определителе): $$\operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^n \lambda_i, \quad \det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i.$$

2. Теорема 4.11 (Кэли–Гамильтона): Каждая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению: $\chi_A(A) = 0$.

3. Теорема 4.12 (о диагонализации): Матрица $A$ диагонализуема (существует $P$ такая, что $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$) $\iff$ сумма геометрических кратностей равна $n$ $\iff$ для каждого $\lambda$ алгебраическая кратность равна геометрической.

4. Теорема 4.13 (о спектре симметричной матрицы): Симметричная (эрмитова) матрица имеет только вещественные собственные значения и ортогонально диагонализуема.

Формулы

1. Характеристический многочлен для $2 \times 2$: $$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A.$$

2. Поиск собственных векторов: Решение $(A - \lambda E)\vec{v} = 0$ для каждого $\lambda$.

4.5. Дополнительные темы

Матричные уравнения

1. Уравнение $AX = B$: Решение $X = A^{-1}B$ (если $A$ квадратная и невырожденная).

2. Уравнение $XA = B$: Решение $X = BA^{-1}$.

3. Уравнение $AXB = C$: Решение $X = A^{-1}CB^{-1}$.

Псевдообратная матрица

1. Псевдообратная (Мура–Пенроуза) $A^+$: Для любой матрицы $A$ существует единственная $A^+$, удовлетворяющая:

   • $A A^+ A = A$
   • $A^+ A A^+ = A^+$
   • $(A A^+)^T = A A^+$
   • $(A^+ A)^T = A^+ A$

2. Применение: Решение СЛУ в смысле наименьших квадратов: $x = A^+ b$ даёт решение с минимальной нормой.

Типовые задачи и алгоритмы решения

Для матриц

1. Умножение матриц: Проверить согласованность размеров ($A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}$), вычислить $c_{ik} = \sum_j a_{ij} b_{jk}$.

2. Нахождение ранга:

   • Привести матрицу к ступенчатому виду.
   • Подсчитать число ненулевых строк.

3. Обращение матрицы:

   • Метод 1 (алгебраические дополнения): $\det A \neq 0$, найти $A_{ij}$, составить $\tilde{A}$, $A^{-1} = \tilde{A} / \det A$.
   • Метод 2 (Гаусс): Записать $(A|E)$, привести левую часть к $E$, справа получится $A^{-1}$.

Для определителей

1. Вычисление определителя:

   • Привести к треугольному виду.
   • Разложить по строке/столбцу с наибольшим количеством нулей.
   • Использовать свойства (линейность, вынос множителя).

2. Применение формул Крамера: Только для квадратных систем с $\det A \neq 0$.

Для систем линейных уравнений

1. Исследование совместности:

   • Вычислить $\operatorname{rk} A$ и $\operatorname{rk} \tilde{A}$.
   • Если равны — совместна, если нет — несовместна.

2. Решение методом Гаусса:

   • Записать расширенную матрицу.
   • Прямой ход: привести к ступенчатому виду.
   • Обратный ход: выразить базисные переменные через свободные.
   • Записать общее решение.

3. Нахождение ФСР:

   • Решить однородную систему.
   • Выделить свободные переменные.
   • Присвоить каждой свободной переменной значение 1 (по очереди), остальным 0.
   • Полученные векторы — ФСР.

4. Решение матричных уравнений:

   • Выразить неизвестную матрицу.
   • Проверить обратимость.
   • Выполнить умножение/обращение.

Типовые ошибки

1. Некоммутативность умножения: $AB \neq BA$. Особенно опасно при сокращении: из $AB = AC$ нельзя заключить $B = C$.

2. Размерности при умножении: Умножение матриц возможно только когда число столбцов $A$ равно числу строк $B$.

3. Определитель произведения: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, но $\det(A+B) \neq \det A + \det B$.

4. Определитель суммы: Нет простой формулы. Особенно часто ошибаются: $\det(A + B) = \det A + \det B$.

5. Обратная матрица: Существует только для невырожденных ($\det A \neq 0$). Формула $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A}$ требует правильного транспонирования алгебраических дополнений.

6. Ранг: Ранг не может превышать $\min(m, n)$. Нулевая матрица имеет ранг 0.

7. Системы:

   • Путаница между совместностью и определённостью.
   • Применение формул Крамера к системам с $\det A = 0$.
   • Потеря решений при делении на переменную (вместо вынесения за скобки).

8. Собственные значения:

   • Ошибка в знаках при раскрытии характеристического многочлена.
   • Путаница между алгебраической и геометрической кратностью.
   • Неверное утверждение, что любая матрица диагонализуема.

9. Элементарные преобразования:

   • Забывают, что перестановка строк меняет знак определителя.
   • При решении систем забывают преобразовывать столбец свободных членов.

10. Транспонирование: $(AB)^T = B^T A^T$ (обратный порядок). Часто забывают переставлять.

11. След: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, но $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)$, не всегда $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BAC)$.

12. Блочные матрицы: При умножении блочных матриц важно соблюдать согласованность размеров блоков.

Мнемонические правила

1. Умножение матриц: "Строка на столбец": элемент $c_{ik}$ — скалярное произведение $i$-й строки $A$ и $k$-го столбца $B$.

2. Правило Саррюса (для $3 \times 3$): "Сумма трёх диагоналей вправо-вниз минус сумма трёх диагоналей влево-вниз".

3. Формула Крамера: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$ — "заменяем $i$-й столбец на столбец свободных членов".

4. Характеристический многочлен $2 \times 2$: $\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A$.

5. Связь следа и собственных значений: "След — сумма, определитель — произведение".

6. Кэли–Гамильтон: "Матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению".

Приложения в физике и инженерии

1. Квантовая механика: Матрицы операторов (эрмитовы — наблюдаемые, унитарные — эволюция), собственные значения — возможные результаты измерений.

2. Теория колебаний: Системы дифференциальных уравнений сводятся к $A\vec{x} = \lambda \vec{x}$; собственные частоты — корни характеристического уравнения.

3. Теория графов: Матрица смежности, её спектр связан с характеристиками графа.

4. Статистика: Ковариационная матрица (симметричная, неотрицательно определённая), собственные значения — дисперсии вдоль главных компонент (PCA).

5. Механика: Тензор инерции (симметричная матрица $3 \times 3$), главные оси инерции — собственные векторы.

6. Машинное обучение: Сингулярное разложение (SVD) — обобщение спектрального разложения для неквадратных матриц.

7. Криптография: Обратимые матрицы над конечными полями используются в шифрах.

Таблицы для шпаргалки

Типы матриц

Свойства ранга

Сравнение методов решения СЛУ

Дополнительные материалы

1. Алгоритм метода Гаусса:

   • Шаг 1: Выбрать ведущий элемент (лучше наибольший по модулю).
   • Шаг 2: Поменять строки при необходимости.
   • Шаг 3: Обнулить все элементы ниже ведущего.
   • Шаг 4: Перейти к следующему столбцу.
   • Шаг 5: После прямого хода выполнить обратный ход (или метод Гаусса–Жордана).

2. Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Гаусса:

   • Записать $(A|E)$.
   • Привести левую часть к единичной матрице элементарными преобразованиями строк.
   • Справа получится $A^{-1}$.

3. Проверка правильности решения СЛУ:

   • Подставить найденные $x_i$ в исходные уравнения.
   • Убедиться, что $Ax = b$ с заданной точностью.
   • Для однородной системы проверить $Ax = 0$.

5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Краткий справочник символов и обозначений

5.1. Основные понятия и свойства

Определения

1. Линейное пространство (векторное пространство): Множество $V$ с операциями сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющими 8 аксиомам. Элементы $V$ называются векторами.

2. Линейное подпространство: Непустое подмножество $W \subset V$, замкнутое относительно сложения и умножения на скаляр. Само является линейным пространством.

3. Линейная комбинация: Выражение вида $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_k v_k$, где $\alpha_i$ — скаляры, $v_i$ — векторы.

4. Линейная оболочка системы векторов: Множество всех линейных комбинаций данной системы: $\operatorname{span}\{v_1, \dots, v_k\}$. Является наименьшим подпространством, содержащим эти векторы.

5. Линейная зависимость/независимость: Система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору; иначе — независима.

6. Базис линейного пространства: Упорядоченная линейно независимая система векторов, линейная оболочка которой совпадает со всем пространством.

7. Размерность линейного пространства ($\dim V$): Количество векторов в базисе (конечномерный случай). Для бесконечномерных пространств размерность бесконечна.

8. Координаты вектора в базисе: Коэффициенты разложения вектора по базису $\{e_1, \dots, e_n\}$: $x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$. Записываются в виде столбца $[x]_e = (x_1, \dots, x_n)^T$.

9. Матрица перехода от базиса $\{e\}$ к базису $\{e'\}$: Матрица $C$, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов $e'_j$ в старом базисе $\{e\}$: $e'_j = \sum_{i=1}^n C_{ij} e_i$.

10. Евклидово пространство: Конечномерное линейное пространство с заданным скалярным произведением $(\cdot, \cdot)$, удовлетворяющим аксиомам: симметричность, линейность по первому аргументу, положительная определённость.

11. Нормированное пространство: Линейное пространство с нормой $\|\cdot\|$, удовлетворяющей аксиомам: положительная определённость, однородность, неравенство треугольника.

12. Ортонормированный базис: Базис $\{e_1, \dots, e_n\}$, в котором $(e_i, e_j) = \delta_{ij}$.

13. Аффинное пространство: Пространство, полученное из линейного пространства путём «забывания» начала координат. Элементы — точки, разность точек — вектор.

14. Выпуклое множество: Множество, содержащее вместе с любыми двумя точками весь отрезок между ними.

15. Выпуклая оболочка: Наименьшее выпуклое множество, содержащее данную систему точек.

Понятия

1. Порождающая система: Система векторов, линейная оболочка которой совпадает со всем пространством.

2. Ранг системы векторов: Размерность линейной оболочки данной системы векторов.

3. Прямая сумма подпространств: Пространство $V$ называется прямой суммой подпространств $U$ и $W$ ($V = U \oplus W$), если $V = U + W$ и $U \cap W = \{0\}$. Любой вектор $v \in V$ однозначно представляется в виде $v = u + w$, $u \in U$, $w \in W$.

4. Факторпространство: Пространство $V/W$ смежных классов по подпространству $W$. Размерность: $\dim(V/W) = \dim V - \dim W$.

5. Линейный функционал: Линейное отображение $f: V \to \mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$).

6. Сопряжённое пространство ($V^*$): Пространство всех линейных функционалов на $V$. $\dim V^* = \dim V$.

7. Ортогональное дополнение ($U^{\perp}$): Множество векторов, ортогональных всем векторам подпространства $U$: $U^{\perp} = \{x \in V \mid (x, u) = 0 \; \forall u \in U\}$. Свойство: $\dim U + \dim U^{\perp} = \dim V$, $(U^{\perp})^{\perp} = U$.

Аксиомы линейного пространства

1. $x + y = y + x$ (коммутативность сложения).
2. $(x + y) + z = x + (y + z)$ (ассоциативность сложения).
3. Существует нулевой элемент $\theta$: $x + \theta = x$.
4. Для каждого $x$ существует $-x$: $x + (-x) = \theta$.
5. $\alpha(\beta x) = (\alpha\beta)x$ (ассоциативность умножения на скаляр).
6. $1 \cdot x = x$ (нормировка).
7. $(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x$ (дистрибутивность относительно сложения скаляров).
8. $\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$ (дистрибутивность относительно сложения векторов).

Теоремы

1. Теорема 5.1 (о базисе): Любая линейно независимая система векторов может быть дополнена до базиса. Любая порождающая система содержит базис.

2. Теорема 5.2 (о размерности): Любые два базиса конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов. Это число называется размерностью.

3. Теорема 5.3 (о координатах): Координаты вектора в данном базисе единственны.

4. Теорема 5.4 (о замене базиса): Если $C$ — матрица перехода от базиса $\{e\}$ к $\{e'\}$, то для любого вектора $x$: $[x]_e = C [x]_{e'}$, $[x]_{e'} = C^{-1} [x]_e$.

5. Теорема 5.5 (о прямой сумме): $\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$. $V = U \oplus W$ тогда и только тогда, когда базис $V$ можно получить объединением базисов $U$ и $W$.

6. Теорема 5.6 (о размерности суммы): $\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$.

7. Теорема 5.7 (об ортогональном дополнении): Для любого подпространства $U$ евклидова пространства $V$: $V = U \oplus U^{\perp}$.

8. Теорема 5.8 (процесс Грама–Шмидта): Любое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Формулы

1. Разложение вектора по базису: $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$, где $x_i$ — координаты.

2. Связь координат при замене базиса: $[x]_e = C [x]_{e'}$, где $C$ — матрица перехода.

3. Матрица Грама: $G_{ij} = (e_i, e_j)$. В ортонормированном базисе $G = E$.

4. Скалярное произведение в координатах: $(x, y) = [x]_e^T G [y]_e$.

5. Формула для ортогональной проекции вектора $x$ на подпространство $U$ с ортонормированным базисом $\{u_1, \dots, u_k\}$: $\operatorname{pr}_U x = \sum_{i=1}^k (x, u_i) u_i$.

6. Формула для расстояния от вектора $x$ до подпространства $U$: $d(x, U) = \|x - \operatorname{pr}_U x\|$.

7. Процесс Грама–Шмидта:

   • $v_1 = e_1$, $u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}$.
   • $v_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} (e_k, u_i) u_i$, $u_k = \frac{v_k}{\|v_k\|}$.

5.2. Линейные отображения и операторы

Определения

1. Линейное отображение: Отображение $\mathcal{A}: V \to W$, удовлетворяющее:

   • $\mathcal{A}(x + y) = \mathcal{A}x + \mathcal{A}y$,
   • $\mathcal{A}(\alpha x) = \alpha \mathcal{A}x$.

2. Линейный оператор: Линейное отображение пространства в себя: $\mathcal{A}: V \to V$.

3. Ядро линейного отображения ($\ker \mathcal{A}$): Множество векторов, отображающихся в нуль: $\ker \mathcal{A} = \{x \in V \mid \mathcal{A}x = 0\}$.

4. Образ линейного отображения ($\operatorname{Im} \mathcal{A}$): Множество значений: $\operatorname{Im} \mathcal{A} = \{\mathcal{A}x \mid x \in V\}$.

5. Ранг линейного отображения: $\operatorname{rk} \mathcal{A} = \dim \operatorname{Im} \mathcal{A}$.

6. Дефект линейного отображения: $\operatorname{def} \mathcal{A} = \dim \ker \mathcal{A}$.

7. Матрица линейного отображения: Матрица $A$ размера $\dim W \times \dim V$, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов $V$ в базисе $W$: $A = ([\mathcal{A}e_1]_f, \dots, [\mathcal{A}e_n]_f)$.

8. Изоморфизм линейных пространств: Биективное линейное отображение. Два пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

9. Сопряжённое отображение: Отображение $\mathcal{A}^*: W^* \to V^*$, определяемое формулой $(\mathcal{A}^* f)(x) = f(\mathcal{A}x)$ для всех $f \in W^*$, $x \in V$.

10. Сопряжённый оператор (в евклидовом пространстве): Оператор $\mathcal{A}^*: V \to V$, такой что $(\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^*y)$ для всех $x, y \in V$.

11. Самосопряжённый (симметричный) оператор: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}$.

12. Ортогональный оператор: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^{-1}$.

13. Унитарный оператор: Аналог ортогонального для комплексных пространств: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^{-1}$.

14. Нормальный оператор: $\mathcal{A}\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^*\mathcal{A}$.

15. Инвариантное подпространство: Подпространство $U \subset V$ такое, что $\mathcal{A}(U) \subset U$.

Теоремы

1. Теорема 5.9 (о ядре и образе): $\ker \mathcal{A}$ — подпространство $V$, $\operatorname{Im} \mathcal{A}$ — подпространство $W$.

2. Теорема 5.10 (о размерности ядра и образа): $\dim V = \dim \ker \mathcal{A} + \dim \operatorname{Im} \mathcal{A}$.

3. Теорема 5.11 (о матрице линейного отображения): При фиксированных базисах соответствие между линейными отображениями и матрицами является биекцией, сохраняющей сложение и умножение на скаляр.

4. Теорема 5.12 (о матрице композиции): Если $\mathcal{A}: V \to W$ и $\mathcal{B}: W \to U$, то $[\mathcal{B} \circ \mathcal{A}] = [\mathcal{B}] [\mathcal{A}]$ (матрица композиции равна произведению матриц).

5. Теорема 5.13 (о замене базиса в операторе): Если $A$ — матрица оператора $\mathcal{A}$ в базисе $\{e\}$, а $C$ — матрица перехода к базису $\{e'\}$, то матрица $\mathcal{A}$ в новом базисе: $A' = C^{-1} A C$.

6. Теорема 5.14 (о ранге матрицы): Ранг матрицы линейного отображения равен рангу самого отображения и не зависит от выбора базисов.

7. Теорема 5.15 (о свойствах сопряжённого оператора):

   • $(\mathcal{A} + \mathcal{B})^* = \mathcal{A}^* + \mathcal{B}^*$,
   • $(\alpha \mathcal{A})^* = \bar{\alpha} \mathcal{A}^*$,
   • $(\mathcal{A} \mathcal{B})^* = \mathcal{B}^* \mathcal{A}^*$,
   • $(\mathcal{A}^*)^* = \mathcal{A}$.

8. Теорема 5.16 (о спектре самосопряжённого оператора): Все собственные значения самосопряжённого оператора вещественны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Формулы

1. Образ вектора через матрицу: Если $[x]_e$ — координаты $x$ в базисе $\{e\}$, $A$ — матрица $\mathcal{A}$ в базисах $\{e\}$ и $\{f\}$, то $[\mathcal{A}x]_f = A [x]_e$.

2. Матрица сопряжённого оператора: В ортонормированном базисе $[\mathcal{A}^*] = A^T$ (для вещественных) или $[\mathcal{A}^*] = A^* = \bar{A}^T$ (для комплексных).

3. Связь ранга и дефекта: $\operatorname{rk} \mathcal{A} + \operatorname{def} \mathcal{A} = \dim V$.

4. След оператора: $\operatorname{tr} \mathcal{A} = \sum_{i=1}^n (A)_{ii}$ — инвариант (не зависит от выбора базиса).

5. Определитель оператора: $\det \mathcal{A} = \det A$ — инвариант.

5.3. Собственные значения и собственные векторы

Определения

1. Собственное значение оператора $\mathcal{A}$: Число $\lambda$, для которого существует ненулевой вектор $x$ такой, что $\mathcal{A}x = \lambda x$.

2. Собственный вектор: Ненулевой вектор $x$, удовлетворяющий $\mathcal{A}x = \lambda x$.

3. Собственное подпространство: $\ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})$ — множество всех собственных векторов, соответствующих $\lambda$, вместе с нулевым вектором.

4. Характеристический многочлен: $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda) = \det(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I}) = \det(A - \lambda E)$.

5. Характеристическое уравнение: $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda) = 0$.

6. Спектр оператора: Множество всех собственных значений (с учётом кратностей).

7. Алгебраическая кратность: Кратность $\lambda$ как корня характеристического многочлена.

8. Геометрическая кратность: Размерность собственного подпространства $\dim \ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})$.

9. Диагонализируемый оператор: Оператор, имеющий базис из собственных векторов (матрица приводится к диагональному виду).

10. Жорданова форма: Канонический вид матрицы для операторов, не диагонализируемых над $\mathbb{C}$.

Теоремы

1. Теорема 5.17 (о характеристическом многочлене): Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

2. Теорема 5.18 (о следе и определителе): $\operatorname{tr} \mathcal{A} = \sum_{i=1}^n \lambda_i$, $\det \mathcal{A} = \prod_{i=1}^n \lambda_i$ (с учётом кратностей).

3. Теорема 5.19 (Кэли–Гамильтона): Каждый оператор удовлетворяет своему характеристическому уравнению: $\chi_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0$.

4. Теорема 5.20 (критерий диагонализируемости): Оператор диагонализируем тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения алгебраическая кратность равна геометрической.

5. Теорема 5.21 (о спектре самосопряжённого оператора): Самосопряжённый оператор диагонализируем в ортонормированном базисе (спектральная теорема).

6. Теорема 5.22 (о спектре ортогонального оператора): Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1. В $\mathbb{R}^3$ это $\pm 1$ и комплексно-сопряжённые пары $e^{\pm i\varphi}$.

Формулы

1. Характеристический многочлен для $2 \times 2$: $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A$.

2. Собственные векторы: Решение системы $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})x = 0$ для каждого $\lambda$.

3. Приведение к диагональному виду: $A' = P^{-1}AP$, где $P$ — матрица из собственных векторов.

Типовые задачи и алгоритмы решения

1. Проверка, является ли множество линейным пространством: Проверка выполнения 8 аксиом. Если множество является подпространством известного пространства, достаточно проверить замкнутость относительно сложения и умножения на скаляр.

2. Нахождение базиса и размерности:

   • Записать векторы в виде матрицы (строки или столбцы).
   • Привести к ступенчатому виду.
   • Базис — ненулевые строки (или столбцы, соответствующие базисным).
   • Размерность = число векторов в базисе.

3. Нахождение координат вектора в базисе: Решение системы линейных уравнений: $x = \sum \alpha_i e_i$.

4. Построение матрицы перехода:

   • Записать новые базисные векторы в старом базисе.
   • Составить матрицу, где столбцы — координаты новых базисных векторов.

5. Замена базиса:

   • Для вектора: $[x]_{\text{нов}} = C^{-1} [x]_{\text{ст}}$.
   • Для оператора: $A_{\text{нов}} = C^{-1} A_{\text{ст}} C$.

6. Построение ортонормированного базиса (процесс Грама–Шмидта):

   • $u_1 = \frac{e_1}{\|e_1\|}$.
   • $v_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} (e_k, u_i) u_i$.
   • $u_k = \frac{v_k}{\|v_k\|}$.

7. Нахождение ядра и образа линейного отображения:

   • Ядро: решить систему $Ax = 0$.
   • Образ: найти линейную оболочку столбцов матрицы $A$.

8. Нахождение собственных значений и векторов:

   • Составить характеристический многочлен $\det(A - \lambda E) = 0$.
   • Найти корни $\lambda_i$.
   • Для каждого $\lambda_i$ решить $(A - \lambda_i E)x = 0$.

9. Проверка диагонализируемости:

   • Найти все собственные значения.
   • Для каждого проверить: алгебраическая кратность = геометрическая кратность.

10. Построение жордановой формы (для недиагонализируемых операторов): Найти корневые подпространства, построить жордановы цепочки.

Типовые ошибки

1. Путаница между линейной оболочкой и линейной комбинацией: Линейная оболочка — множество всех комбинаций, а не одна конкретная комбинация.

2. Ошибки при вычислении матрицы перехода: Запись координат новых базисных векторов в строках, а не в столбцах. Правильно: столбцы — координаты новых векторов в старом базисе.

3. Неправильное применение формулы замены базиса: $[x]_{\text{нов}} = C^{-1} [x]_{\text{ст}}$, а не $C[x]_{\text{ст}}$.

4. Игнорирование условия невырожденности матрицы перехода: Матрица перехода всегда обратима. Если получилась вырожденная — ошибка.

5. Ошибки в теореме о размерности суммы: $\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$. Часто забывают вычитать размерность пересечения.

6. Путаница между ядром и образом: Ядро — прообраз нуля, образ — множество значений. Размерности связаны, но это разные подпространства.

7. Ошибки при составлении характеристического многочлена: Неправильный знак перед $\lambda$ в $\det(A - \lambda E)$.

8. Игнорирование комплексных собственных значений: В вещественных пространствах собственные значения могут быть комплексными (например, у поворота).

9. Неправильное определение геометрической кратности: Геометрическая кратность — размерность $\ker(A - \lambda E)$, а не количество корней.

10. Ошибки в процессе Грама–Шмидта: Неправильный порядок вычитания проекций, забывание нормировки.

11. Путаница между сопряжённым пространством и сопряжённым оператором: Сопряжённое пространство — пространство функционалов; сопряжённый оператор — оператор на этом пространстве.

12. Неверное утверждение о коммутативности операторов: Операторы (и матрицы) в общем случае не коммутируют.

Мнемонические правила

1. Размерность суммы: "Сумма размерностей минус размерность пересечения".

2. Кэли–Гамильтон: "Матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению".

3. Спектральная теорема: "Симметричную матрицу можно диагонализировать ортогонально".

4. Связь следа и собственных значений: "След — сумма, определитель — произведение".

5. Процесс Грама–Шмидта: "Вычитаем проекции на все предыдущие, потом нормируем".

Приложения в физике и инженерии

1. Квантовая механика: Состояния системы — векторы в гильбертовом пространстве, наблюдаемые — самосопряжённые операторы, собственные значения — возможные результаты измерений.

2. Теория колебаний: Нормальные моды — собственные векторы матрицы жёсткости, собственные частоты — корни характеристического уравнения.

3. Теория относительности: Пространство Минковского — псевдоевклидово пространство, преобразования Лоренца — линейные операторы.

4. Обработка сигналов: Метод главных компонент (PCA) — переход к базису из собственных векторов ковариационной матрицы.

5. Механика: Тензор инерции — линейный оператор в $\mathbb{R}^3$, главные оси — собственные векторы.

6. Теория управления: Пространство состояний, устойчивость определяется собственными значениями матрицы системы.

Таблицы для шпаргалки

Типы линейных пространств

Характеристики линейного отображения

Свойства операторов в евклидовом пространстве

6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ

Краткий справочник символов и обозначений

6.1. Операторы и их матрицы

Определения

1. Линейный оператор: Линейное отображение $\mathcal{A}: V \to V$ пространства в себя.

2. Матрица линейного оператора в базисе $\{e_1, \dots, e_n\}$: Матрица $A$, по столбцам которой стоят координаты образов базисных векторов: $[\mathcal{A}e_j] = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{nj})^T$. Связь координат: если $y = \mathcal{A}x$, то $[y] = A[x]$.

3. Матрица перехода $C$: Матрица, связывающая координаты вектора в старом базисе $\{e\}$ и новом базисе $\{e'\}$: $[x]_e = C [x]_{e'}$. Столбцами $C$ являются координаты новых базисных векторов в старом базисе.

4. Подобные матрицы: Матрицы $A$ и $A'$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $C$ такая, что $A' = C^{-1} A C$. Они представляют один и тот же оператор в разных базисах.

5. Инвариантное подпространство $U$: Подпространство $U \subset V$, для которого $\mathcal{A}(U) \subseteq U$. В таком базисе матрица оператора имеет блочно-треугольный вид.

6. Ограничение оператора на подпространство: $\mathcal{A}|_U: U \to U$ — оператор, действующий только на инвариантном подпространстве.

7. Клеточно-диагональная матрица: Матрица, имеющая квадратные блоки на диагонали и нули вне их. Соответствует разложению пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.

8. Спектр оператора $\sigma(\mathcal{A})$: Множество всех собственных значений оператора $\mathcal{A}$ (с учётом кратностей).

9. Спектральный радиус: $\rho(\mathcal{A}) = \max\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(\mathcal{A})\}$.

10. Норма оператора: $\|\mathcal{A}\| = \sup\{\|\mathcal{A}x\| : \|x\| = 1\}$.

11. Сопряжённый оператор $\mathcal{A}^*$: Оператор в евклидовом (гильбертовом) пространстве, удовлетворяющий $(\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^*y)$ для всех $x, y$.

12. Самосопряжённый (эрмитов) оператор: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}$. В ортонормированном базисе его матрица симметрична (для вещественных) или эрмитова (для комплексных).

13. Унитарный оператор: Оператор, сохраняющий скалярное произведение: $(\mathcal{A}x, \mathcal{A}y) = (x, y)$. В ортонормированном базисе его матрица унитарна: $A^* = A^{-1}$.

14. Ортогональный оператор: Вещественный аналог унитарного: $A^T = A^{-1}$.

15. Нормальный оператор: Оператор, коммутирующий со своим сопряжённым: $\mathcal{A}\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^*\mathcal{A}$. Класс, включающий самосопряжённые, унитарные и кососимметричные операторы.

16. Проектор (идемпотент): Оператор $\mathcal{P}$, удовлетворяющий $\mathcal{P}^2 = \mathcal{P}$. Геометрически — проекция на подпространство вдоль дополнительного.

17. Ортогональный проектор: Проектор, для которого $\operatorname{Im} \mathcal{P} \perp \ker \mathcal{P}$.

Понятия

1. След оператора ($\operatorname{tr} \mathcal{A}$): Сумма диагональных элементов его матрицы. Инвариант: не зависит от выбора базиса.

2. Определитель оператора ($\det \mathcal{A}$): Определитель его матрицы. Инвариант: не зависит от выбора базиса.

3. Ранг оператора: $\operatorname{rk} \mathcal{A} = \dim \operatorname{Im} \mathcal{A}$.

4. Дефект оператора: $\operatorname{def} \mathcal{A} = \dim \ker \mathcal{A}$. Связь: $\operatorname{rk} \mathcal{A} + \operatorname{def} \mathcal{A} = \dim V$.

5. Коммутирующие операторы: $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$.

6. Инварианты оператора: Величины, не зависящие от выбора базиса: след, определитель, характеристический многочлен, спектр, минимальный многочлен.

7. Матрица Грама: Матрица скалярных произведений базисных векторов: $G_{ij} = (e_i, e_j)$. В ортонормированном базисе $G = E$.

Операции над операторами

1. Сумма: $(\mathcal{A} + \mathcal{B})x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x$. Матрица суммы равна сумме матриц.

2. Умножение на число: $(\alpha \mathcal{A})x = \alpha(\mathcal{A}x)$.

3. Умножение (композиция): $(\mathcal{A}\mathcal{B})x = \mathcal{A}(\mathcal{B}x)$. Матрица произведения равна произведению матриц.

4. Обратный оператор: $\mathcal{A}^{-1}$ существует, если $\ker \mathcal{A} = \{0\}$ (или $\det \mathcal{A} \neq 0$).

5. Прямая сумма операторов: Если $V = U \oplus W$ и $\mathcal{A}: U \to U$, $\mathcal{B}: W \to W$, то $(\mathcal{A} \oplus \mathcal{B})(u + w) = \mathcal{A}u + \mathcal{B}w$.

6. Сопряжённый оператор: Определяется через скалярное произведение. В ортонормированном базисе $[\mathcal{A}^*] = A^T$ (вещественный) или $A^* = \bar{A}^T$ (комплексный).

Теоремы

1. Теорема 6.1 (о матрице суммы и произведения): В фиксированном базисе матрица суммы операторов равна сумме их матриц, матрица произведения — произведению матриц.

2. Теорема 6.2 (о подобных матрицах): Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены, следы, определители и спектры.

3. Теорема 6.3 (об инвариантности следа и определителя): След и определитель оператора не зависят от выбора базиса.

4. Теорема 6.4 (о разложении в прямую сумму): Если пространство разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств $V = U_1 \oplus \dots \oplus U_k$, то в базисе, составленном из базисов этих подпространств, матрица оператора имеет блочно-диагональный вид.

5. Теорема 6.5 (о нормальном операторе): Для нормального оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов (спектральная теорема). В частности, самосопряжённые и унитарные операторы диагонализуемы в ортонормированном базисе.

6.2. Собственные значения и собственные векторы

Определения

1. Собственный вектор оператора $\mathcal{A}$: Ненулевой вектор $x$, такой что $\mathcal{A}x = \lambda x$ для некоторого скаляра $\lambda$.

2. Собственное значение $\lambda$: Число, для которого существует ненулевой собственный вектор.

3. Характеристический многочлен: $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda) = \det(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I}) = \det(A - \lambda E)$. Степень равна $\dim V$.

4. Характеристическое уравнение: $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda) = 0$.

5. Собственное подпространство $\mathcal{S}_\lambda$: $\ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})$ — множество всех собственных векторов, соответствующих $\lambda$, включая нулевой вектор.

6. Алгебраическая кратность $\lambda$: Кратность $\lambda$ как корня характеристического многочлена.

7. Геометрическая кратность $\lambda$: $\dim \mathcal{S}_\lambda$ — размерность собственного подпространства.

8. Присоединённый вектор высоты $k$: Вектор $v \neq 0$, такой что $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^k v = 0$, но $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^{k-1} v \neq 0$.

9. Жорданова цепь: Последовательность векторов $v_1$ (собственный), $v_2, \dots, v_k$ (присоединённые), где $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})v_{i+1} = v_i$.

10. Корневое подпространство (корневая плоскость) $\mathcal{R}_\lambda$: Множество всех векторов, для которых $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^k v = 0$ при некотором $k$. $\mathcal{R}_\lambda = \bigcup_{k \ge 1} \ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^k$.

11. Нильпотентный оператор: Оператор $\mathcal{N}$, для которого $\mathcal{N}^k = 0$ при некотором $k \ge 1$. Наименьшее такое $k$ называется показателем нильпотентности.

12. Жорданова клетка порядка $m$ для $\lambda$: Матрица размера $m \times m$: $$J_m(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda \end{pmatrix}.$$

13. Жорданова нормальная форма матрицы: Блочно-диагональная матрица, составленная из жордановых клеток: $J = \operatorname{diag}(J_{m_1}(\lambda_1), \dots, J_{m_k}(\lambda_k))$.

14. Жорданов базис: Базис, в котором матрица оператора имеет жорданову нормальную форму.

15. Минимальный многочлен оператора $\mu_{\mathcal{A}}(\lambda)$: Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, такой что $\mu_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0$.

16. Циклическое подпространство: Подпространство вида $\langle v, \mathcal{A}v, \mathcal{A}^2v, \dots \rangle$ для некоторого вектора $v$.

17. Циклический вектор: Вектор $v$, для которого циклическое подпространство совпадает со всем пространством.

Теоремы

1. Теорема 6.6 (Гамильтона–Кэли): Каждый оператор удовлетворяет своему характеристическому уравнению: $\chi_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0$. Следствие: Любая степень $\mathcal{A}^k$ при $k \ge n$ выражается через $\mathcal{A}^0, \dots, \mathcal{A}^{n-1}$.

2. Теорема 6.7 (о линейной независимости собственных векторов): Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

3. Теорема 6.8 (критерий диагонализуемости): Оператор диагонализуем (имеет диагональную матрицу в некотором базисе) тогда и только тогда, когда сумма размерностей его собственных подпространств равна размерности всего пространства, то есть для каждого собственного значения алгебраическая кратность равна геометрической. Достаточное условие: все корни характеристического многочлена различны.

4. Теорема 6.9 (Жордана): В комплексном пространстве любой линейный оператор может быть приведён к жордановой нормальной форме. Существует жорданов базис, в котором матрица оператора имеет вид $J = \operatorname{diag}(J_{m_1}(\lambda_1), \dots, J_{m_k}(\lambda_k))$.

5. Теорема 6.10 (о минимальном многочлене): Минимальный многочлен делит характеристический и имеет те же корни (возможно, с меньшими кратностями). $\mu_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{d_i}$, где $d_i$ — размер наибольшей жордановой клетки для $\lambda_i$.

6. Теорема 6.11 (критерий диагонализуемости через минимальный многочлен): Оператор диагонализуем $\iff$ минимальный многочлен имеет вид $\prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)$, где все $\lambda_i$ различны (нет кратных корней).

7. Теорема 6.12 (о разложении на корневые подпространства): $V = \mathcal{R}_{\lambda_1} \oplus \mathcal{R}_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus \mathcal{R}_{\lambda_k}$, где $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ — различные собственные значения. Размерность $\dim \mathcal{R}_{\lambda_i}$ равна алгебраической кратности $\lambda_i$.

8. Теорема 6.13 (о жордановом разложении): Любой оператор может быть представлен в виде $\mathcal{A} = \mathcal{D} + \mathcal{N}$, где $\mathcal{D}$ диагонализуем, $\mathcal{N}$ нильпотентен, и $\mathcal{D}\mathcal{N} = \mathcal{N}\mathcal{D}$.

Формулы

1. Характеристический многочлен: $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda) = \det(A - \lambda E) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1}(\operatorname{tr} A)\lambda^{n-1} + \dots + \det A$.

2. След через собственные значения: $\operatorname{tr} \mathcal{A} = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ (с учётом алгебраических кратностей).

3. Определитель через собственные значения: $\det \mathcal{A} = \prod_{i=1}^n \lambda_i$.

4. Формула для присоединённого вектора: $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})v_k = v_{k-1}$, где $v_1$ — собственный вектор.

5. Жорданова форма: $A = S J S^{-1}$, где $J$ — жорданова форма, $S$ — матрица перехода к жорданову базису.

6. Минимальный многочлен через жорданову форму: $\mu_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$, где $m_i$ — максимальный размер жордановой клетки для $\lambda_i$.

7. Разложение на корневые подпространства: $V = \bigoplus_{i=1}^k \mathcal{R}_{\lambda_i}$, причём $\mathcal{R}_{\lambda_i} = \ker(\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{I})^{d_i}$, где $d_i$ — алгебраическая кратность $\lambda_i$.

Типовые задачи и алгоритмы решения

Для операторов и их матриц

1. Построение матрицы оператора:

   • Найти образы базисных векторов $\mathcal{A}e_1, \dots, \mathcal{A}e_n$.
   • Записать координаты этих образов в том же базисе.
   • Составить матрицу $A$, где $j$-й столбец — координаты $\mathcal{A}e_j$.

2. Замена базиса:

   • Найти матрицу перехода $C$ от старого базиса $\{e\}$ к новому $\{e'\}$ (столбцы — координаты $e'_j$ в $\{e\}$).
   • Вычислить $A' = C^{-1} A C$ — матрица оператора в новом базисе.

3. Проверка подобия матриц:

   • Вычислить характеристические многочлены. Если различны — не подобны.
   • Если совпадают, сравнить жордановы формы.
   • Для проверки можно сравнить ранги $(\lambda E - A)^k$.

4. Нахождение инвариантных подпространств:

   • Собственные подпространства: $\ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})$.
   • Корневые подпространства: $\ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^d$, где $d$ — алгебраическая кратность.

5. Вычисление функций от операторов:

   • Использовать теорему Гамильтона–Кэли для понижения степени.
   • Если оператор диагонализуем: $f(\mathcal{A}) = P f(\Lambda) P^{-1}$.
   • В общем случае: использовать жорданову форму.

Для собственных значений и векторов

1. Нахождение спектра:

   • Составить характеристический многочлен $\det(A - \lambda E) = 0$.
   • Решить уравнение (для $2 \times 2$ и $3 \times 3$ — аналитически, для больших — численно).

2. Построение собственных подпространств:

   • Для каждого $\lambda$ решить $(A - \lambda E)x = 0$.
   • Найти базис решения (фундаментальную систему).

3. Построение жордановой формы:

   • Найти собственные значения $\lambda_i$ и их алгебраические кратности.
   • Для каждого $\lambda$ найти геометрическую кратность $g_i = \dim \ker(A - \lambda E)$.
   • Определить количество и размеры жордановых клеток: число клеток равно $g_i$, размеры определяются из рангов $(A - \lambda E)^k$.
   • Составить жорданову матрицу $J$.

4. Построение жорданова базиса:

   • Для каждого $\lambda$ построить жордановы цепи.
   • Начать с присоединённых векторов наибольшей высоты.
   • Решить $(A - \lambda E)v = u$ для поиска присоединённых.

5. Проверка диагонализируемости:

   • Сравнить алгебраическую и геометрическую кратности для каждого $\lambda$.
   • Если равны для всех $\lambda$ — диагонализуем.

6. Нахождение минимального многочлена:

   • Разложить характеристический многочлен на множители.
   • Для каждого $\lambda_i$ найти максимальный размер жордановой клетки $m_i$.
   • $\mu(\lambda) = \prod (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$.

Типовые ошибки

1. Путаница между алгебраической и геометрической кратностями: Геометрическая кратность $\le$ алгебраической. Равенство — условие диагонализуемости.

2. Ошибки при составлении характеристического многочлена: Неправильный знак: $\det(A - \lambda E) = 0$, а не $\det(\lambda E - A) = 0$ (хотя разница лишь в знаке $(-1)^n$).

3. Игнорирование комплексных собственных значений: В вещественных пространствах собственные значения могут быть комплексными (например, у поворота). Для диагонализуемости над $\mathbb{R}$ требуется, чтобы все корни были вещественными.

4. Неправильное построение жордановых цепей: Нарушение порядка: сначала собственный вектор, затем присоединённые $v_2, \dots, v_k$, где $(A - \lambda I)v_{i+1} = v_i$.

5. Ошибки в вычислениях матрицы перехода: Неверная ориентация столбцов. Столбцы $S$ — это координаты векторов жорданова базиса.

6. Путаница между жордановой и диагональной формами: Диагональная форма — частный случай жордановой, когда все клетки размера 1.

7. Некорректное применение теоремы Гамильтона–Кэли: $\chi_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0$, но $\chi_{\mathcal{A}}(A)$ — матричный многочлен, а не число.

8. Ошибки при работе с нильпотентными операторами: Неправильное определение показателя нильпотентности. Для нильпотентной матрицы $N^k = 0$, но $N^{k-1} \neq 0$.

9. Игнорирование условия полноты пространства: Теорема Жордана верна только над алгебраически замкнутым полем (например, $\mathbb{C}$). Над $\mathbb{R}$ могут потребоваться вещественные жордановы клетки для комплексных собственных значений.

10. Неправильное вычисление следа и определителя через собственные значения: Неучёт кратностей: $\operatorname{tr} \mathcal{A} = \sum \lambda_i$ с учётом алгебраических кратностей, $\det \mathcal{A} = \prod \lambda_i$ с учётом кратностей.

11. Ошибки при построении корневых подпространств: Корневое подпространство $\mathcal{R}_\lambda = \ker(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^d$, где $d$ — алгебраическая кратность, а не $d = \dim V$.

12. Путаница между оператором и его матрицей: Свойства оператора инвариантны (не зависят от базиса), свойства матрицы — зависят.

Мнемонические правила

1. Гамильтон–Кэли: "Матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению".

2. Связь следа и определителя с собственными значениями: "След — сумма, определитель — произведение".

3. Жорданова форма: "Клеток столько, сколько геометрическая кратность, размер клетки — высота присоединённой цепи".

4. Диагонализуемость: "Если корни характеристического многочлена различны — диагонализуем. Если есть кратные — нужно проверять".

5. Минимальный многочлен: "Делит характеристический, корни те же, степени — размеры максимальных клеток".

6. Жорданова цепь: "Собственный вектор порождает, присоединённый — понижает степень $(A - \lambda I)$".

Приложения в физике и инженерии

1. Квантовая механика: Гамильтониан — самосопряжённый оператор. Собственные значения — уровни энергии, собственные векторы — стационарные состояния.

2. Теория колебаний: Матрица жёсткости и матрица масс. Обобщённая задача на собственные значения $Kx = \omega^2 Mx$ даёт собственные частоты $\omega$.

3. Теория устойчивости: Спектр матрицы линеаризованной системы определяет устойчивость: если все $\operatorname{Re} \lambda < 0$ — асимптотически устойчива.

4. Обработка сигналов: Метод главных компонент (PCA) — собственные векторы ковариационной матрицы.

5. Механика твёрдого тела: Тензор инерции — симметричный оператор в $\mathbb{R}^3$. Главные оси инерции — собственные векторы.

6. Дифференциальные уравнения: Системы линейных ОДУ $x' = Ax$ решаются через экспоненту от матрицы, которая вычисляется через жорданову форму.

Таблицы для шпаргалки

Типы операторов

Жорданова форма

Инварианты подобия

7. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Краткий справочник символов и обозначений

7.1. Евклидовы пространства

Определения

1. Вещественное евклидово пространство $E$: Линейное пространство над $\mathbb{R}$ с заданным скалярным произведением $(\cdot, \cdot): E \times E \to \mathbb{R}$, удовлетворяющим аксиомам:

   • Симметричность: $(x, y) = (y, x)$.
   • Линейность по первому аргументу: $(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)$.
   • Положительная определённость: $(x, x) \ge 0$, причём $(x, x) = 0 \iff x = 0$.

2. Длина (норма) вектора: $\|x\| = \sqrt{(x, x)}$.

3. Угол между векторами: $\cos\varphi = \dfrac{(x, y)}{\|x\|\|y\|}$, $0 \le \varphi \le \pi$.

4. Ортогональные векторы: $(x, y) = 0$. Обозначение: $x \perp y$.

5. Ортогональный базис: Базис из попарно ортогональных векторов.

6. Ортонормированный базис (ОНБ): Ортогональный базис из векторов единичной длины. В ОНБ $\{e_1, \dots, e_n\}$: $(x, y) = \sum_{i=1}^n x_i y_i$.

7. Матрица Грама системы векторов $\{x_1, \dots, x_k\}$: Матрица $G$ размера $k \times k$ с элементами $G_{ij} = (x_i, x_j)$. Система линейно независима $\iff$ $\det G \neq 0$.

8. Ортогональное дополнение $U^\perp$ к подпространству $U$: $U^\perp = \{x \in E \mid (x, u) = 0 \ \forall u \in U\}$.

9. Ортогональная проекция вектора $x$ на подпространство $U$: Единственный вектор $y_0 \in U$, такой что $(x - y_0) \perp U$, т.е. $x - y_0 \in U^\perp$.

10. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта: Алгоритм построения ортонормированного базиса из линейно независимой системы векторов.

11. Изоморфизм евклидовых пространств: Линейный изоморфизм, сохраняющий скалярное произведение: $(\mathcal{A}x, \mathcal{A}y) = (x, y)$.

12. Ортогональная система векторов: Система, в которой любые два различных вектора ортогональны.

13. Ортонормированная система: Ортогональная система единичных векторов.

14. Расстояние между векторами: $d(x, y) = \|x - y\|$.

15. Изометрия: Отображение (не обязательно линейное), сохраняющее расстояния. По теореме Мазура–Улама любая изометрия вещественного пространства, переводящая $0$ в $0$, линейна и ортогональна.

Теоремы

1. Теорема 7.1 (неравенство Коши–Буняковского): $|(x, y)| \le \|x\| \cdot \|y\|$. Равенство достигается $\iff$ векторы коллинеарны.

2. Теорема 7.2 (неравенство Минковского / треугольника): $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$.

3. Теорема 7.3 (Пифагора): Если $x \perp y$, то $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.

4. Теорема 7.4 (тождество параллелограмма): $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$.

5. Теорема 7.5 (о существовании ОНБ): В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

6. Теорема 7.6 (о дополнении до ОНБ): Любую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса.

7. Теорема 7.7 (о разложении в прямую сумму): $E = U \oplus U^\perp$, т.е. любой вектор $x$ однозначно представляется в виде $x = y + z$, где $y \in U$, $z \in U^\perp$.

8. Теорема 7.8 (о матрице Грама): Матрица Грама линейно независимой системы векторов положительно определена. Для любой положительно определённой матрицы существует система векторов с такой матрицей Грама.

9. Теорема 7.9 (о геометрическом смысле определителя Грама): Квадрат объёма $k$-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $x_1, \dots, x_k$, равен $\det G(x_1, \dots, x_k)$.

Формулы

1. Скалярное произведение в ОНБ: $(x, y) = \sum_{i=1}^n x_i y_i$.

2. Скалярное произведение в произвольном базисе: $(x, y) = [x]_e^T G [y]_e$, где $G$ — матрица Грама базиса.

3. Норма вектора: $\|x\| = \sqrt{(x, x)}$.

4. Процесс Грама–Шмидта: Для линейно независимой системы $\{v_1, \dots, v_n\}$: $$ \begin{aligned} u_1 &= v_1, \quad e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|}, \\ u_2 &= v_2 - (v_2, e_1)e_1, \quad e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}, \\ u_k &= v_k - \sum_{i=1}^{k-1} (v_k, e_i) e_i, \quad e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}. \end{aligned} $$

5. Ортогональная проекция на подпространство $U$ с ОНБ $\{e_1, \dots, e_k\}$: $$ \operatorname{pr}_U x = \sum_{i=1}^k (x, e_i) e_i. $$

6. Расстояние от вектора $x$ до подпространства $U$: $$ d(x, U) = \|x - \operatorname{pr}_U x\| = \sqrt{\|x\|^2 - \sum_{i=1}^k (x, e_i)^2}. $$

7. Объём параллелепипеда: $V = \sqrt{\det G(x_1, \dots, x_k)}$.

8. Формула для проекции на линейную оболочку (через матрицу Грама): Если $\{v_1, \dots, v_k\}$ — базис $U$, то $$ \operatorname{pr}_U x = \sum_{i,j=1}^k (G^{-1})_{ij} (x, v_i) v_j. $$

7.2. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Определения

1. Сопряжённый оператор $\mathcal{A}^*$: Оператор, удовлетворяющий $(\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^*y)$ для всех $x, y \in E$.

2. Самосопряжённый (симметричный) оператор: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}$. В ОНБ его матрица симметрична: $A^T = A$.

3. Ортогональный оператор: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^{-1}$. Сохраняет скалярное произведение: $(\mathcal{A}x, \mathcal{A}y) = (x, y)$. В ОНБ его матрица ортогональна: $Q^T Q = E$.

4. Собственное ортогональное преобразование (вращение): $\det \mathcal{A} = +1$.

5. Несобственное ортогональное преобразование (отражение): $\det \mathcal{A} = -1$.

6. Положительный (положительно определённый) оператор: Самосопряжённый оператор, для которого $(\mathcal{A}x, x) > 0$ для всех $x \neq 0$.

7. Неотрицательный оператор: $(\mathcal{A}x, x) \ge 0$ для всех $x$.

8. Норма оператора: $\|\mathcal{A}\| = \sup\{\|\mathcal{A}x\| : \|x\| = 1\}$. Для самосопряжённого оператора $\|\mathcal{A}\| = \max |\lambda_i|$.

9. Число обусловленности: $\mu(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}^{-1}\| = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$.

10. Спектральное разложение оператора: Для самосопряжённого оператора: $\mathcal{A} = \sum_{i=1}^n \lambda_i P_i$, где $P_i$ — ортогональные проекторы на собственные подпространства.

11. Полярное разложение: Представление невырожденного оператора в виде $\mathcal{A} = \mathcal{U} \mathcal{P}$, где $\mathcal{U}$ — ортогональный, $\mathcal{P} = \sqrt{\mathcal{A}^*\mathcal{A}}$ — положительный.

12. Сингулярное разложение (SVD) матрицы: $A = U \Sigma V^T$, где $U, V$ — ортогональные матрицы, $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_r, 0, \dots, 0)$ — диагональная с сингулярными числами $\sigma_i \ge 0$.

13. Сингулярные числа ($\sigma_i$): Квадратные корни из собственных значений оператора $\mathcal{A}^*\mathcal{A}$ (или $\mathcal{A}\mathcal{A}^*$).

14. Квадратичная форма: $Q(x) = (\mathcal{A}x, x)$, где $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор.

15. Главные оси квадратичной формы: Собственные векторы оператора $\mathcal{A}$.

Понятия

1. Проектор (идемпотент): Оператор $P$, такой что $P^2 = P$. Ортогональный проектор дополнительно удовлетворяет $P^* = P$.

2. Корень из оператора: Для положительного оператора $\mathcal{A}$ существует единственный положительный оператор $\mathcal{B}$, такой что $\mathcal{B}^2 = \mathcal{A}$. Обозначение: $\mathcal{B} = \sqrt{\mathcal{A}}$.

3. Закон инерции квадратичных форм: Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса. Сигнатура — пара $(p, q)$, где $p$ — число положительных, $q$ — число отрицательных коэффициентов.

4. Минимаксное свойство собственных значений (Рэлея–Ритца): Для самосопряжённого оператора $$ \lambda_k = \max_{\dim L = k} \min_{x \in L, x \neq 0} \frac{(\mathcal{A}x, x)}{(x, x)}, $$ где $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n$ — собственные значения.

5. Спектральная норма: $\|A\|_2 = \sigma_{\max}(A)$.

Теоремы

1. Теорема 7.10 (о матрице сопряжённого оператора): В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной: $[\mathcal{A}^*] = [\mathcal{A}]^T$.

2. Теорема 7.11 (спектральная теорема для самосопряжённых операторов): Для любого самосопряжённого оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов. Все собственные значения вещественны.

3. Теорема 7.12: Собственные векторы самосопряжённого оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

4. Теорема 7.13 (о спектре ортогонального оператора): Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1. В $\mathbb{R}^3$ возможны: $\pm 1$ и комплексно-сопряжённые пары $e^{\pm i\varphi}$.

5. Теорема 7.14 (о приведении квадратичной формы к главным осям): Для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором она имеет канонический вид $Q(x) = \lambda_1 x_1^2 + \dots + \lambda_n x_n^2$, где $\lambda_i$ — собственные значения соответствующего оператора.

6. Теорема 7.15 (о существовании сингулярного разложения): Для любой матрицы $A$ размера $m \times n$ существует сингулярное разложение $A = U \Sigma V^T$.

7. Теорема 7.16 (о полярном разложении): Любой невырожденный оператор $\mathcal{A}$ однозначно представляется в виде $\mathcal{A} = \mathcal{U} \mathcal{P}$, где $\mathcal{U}$ — ортогональный, $\mathcal{P} = \sqrt{\mathcal{A}^*\mathcal{A}}$ — положительный.

8. Теорема 7.17 (о спектральном разложении): Самосопряжённый оператор $\mathcal{A}$ представим в виде $$ \mathcal{A} = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i, $$ где $\lambda_i$ — различные собственные значения, $P_i$ — ортогональные проекторы на соответствующие собственные подпространства.

Формулы

1. Матрица сопряжённого оператора в ОНБ: $[\mathcal{A}^*] = [\mathcal{A}]^T$.

2. Спектральное разложение самосопряжённого оператора: $A = Q \Lambda Q^T$, где $Q$ — ортогональная матрица из собственных векторов, $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$.

3. Полярное разложение: $A = UP$, где $P = \sqrt{A^T A}$, $U = A P^{-1}$.

4. Сингулярное разложение: $A = U \Sigma V^T$, где $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_r)$, $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^T A)}$.

5. Вычисление ортогонального проектора на подпространство: $P = I - Q Q^T$, где столбцы $Q$ образуют ОНБ ортогонального дополнения.

6. Отношение Рэлея: $R(x) = \frac{(Ax, x)}{(x, x)}$. Экстремумы $R(x)$ на единичной сфере — собственные значения $A$.

7.3. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства

Определения

1. Унитарное пространство $U$: Линейное пространство над $\mathbb{C}$ с эрмитовым скалярным произведением $(x, y)$, удовлетворяющим:

   • Эрмитовость: $(x, y) = \overline{(y, x)}$.
   • Линейность по первому аргументу: $(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)$.
   • Положительная определённость: $(x, x) \ge 0$, $(x, x) = 0 \iff x = 0$.

2. Эрмитова матрица: Матрица $A$, удовлетворяющая $A = A^* = \bar{A}^T$.

3. Унитарная матрица: Матрица $U$, удовлетворяющая $U^*U = UU^* = E$.

4. Унитарный оператор: Оператор $\mathcal{U}$, для которого $\mathcal{U}^* = \mathcal{U}^{-1}$. Сохраняет эрмитово скалярное произведение: $(\mathcal{U}x, \mathcal{U}y) = (x, y)$.

5. Эрмитов оператор: $\mathcal{A}^* = \mathcal{A}$. Собственные значения вещественны.

6. Нормальный оператор: Оператор, коммутирующий со своим сопряжённым: $\mathcal{A}\mathcal{A}^* = \mathcal{A}^*\mathcal{A}$.

7. Эрмитова форма: Полуторалинейная форма $H(x, y)$, линейная по первому аргументу и антилинейная по второму, удовлетворяющая $H(x, y) = \overline{H(y, x)}$.

8. Унитарный базис: Ортонормированный базис в унитарном пространстве.

9. Спектр унитарного оператора: Лежит на единичной окружности: $|\lambda_i| = 1$.

10. Спектр эрмитова оператора: Вещественные числа.

Свойства и теоремы

1. Теорема 7.18 (о существовании ОНБ в унитарном пространстве): В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис.

2. Теорема 7.19 (спектральная теорема для нормальных операторов): Нормальный оператор в унитарном пространстве диагонализуем в ортонормированном базисе. Обратно: если оператор диагонализуем в ОНБ, он нормален.

3. Теорема 7.20 (спектральная теорема для эрмитовых операторов): Эрмитов оператор диагонализуем в ортонормированном базисе, все его собственные значения вещественны.

4. Теорема 7.21 (спектральная теорема для унитарных операторов): Унитарный оператор диагонализуем в ортонормированном базисе, его собственные значения лежат на единичной окружности: $|\lambda_i| = 1$.

5. Теорема 7.22 (о сингулярном разложении в унитарном случае): Для любого оператора $\mathcal{A}$ в унитарном пространстве существует сингулярное разложение $\mathcal{A} = \mathcal{U} \Sigma \mathcal{V}^*$, где $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ — унитарные, $\Sigma$ — диагональная с неотрицательными сингулярными числами.

6. Теорема 7.23 (о полярном разложении в унитарном случае): Любой невырожденный оператор $\mathcal{A}$ однозначно представляется в виде $\mathcal{A} = \mathcal{U} \mathcal{P}$, где $\mathcal{U}$ — унитарный, $\mathcal{P} = \sqrt{\mathcal{A}^*\mathcal{A}}$ — положительный (эрмитов).

7. Свойство эрмитовых операторов: Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

8. Свойство унитарных операторов: Сохраняют норму: $\|\mathcal{U}x\| = \|x\|$.

Формулы

1. Эрмитово скалярное произведение в ОНБ: $(x, y) = \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}$.

2. Матрица эрмитова оператора в ОНБ: $A = A^* = \bar{A}^T$.

3. Матрица унитарного оператора в ОНБ: $U^*U = E$.

4. Спектральное разложение эрмитова оператора: $A = U \Lambda U^*$, где $U$ — унитарная, $\Lambda$ — вещественная диагональная.

5. Спектральное разложение унитарного оператора: $U = V \Lambda V^*$, где $\Lambda = \operatorname{diag}(e^{i\varphi_1}, \dots, e^{i\varphi_n})$.

6. Сингулярное разложение: $A = U \Sigma V^*$, $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_r)$.

Типовые задачи и алгоритмы решения

Для евклидовых и унитарных пространств:

1. Проверка, является ли пространство евклидовым (унитарным): Проверка аксиом скалярного произведения.

2. Построение ортонормированного базиса:

   • Применить процесс Грама–Шмидта к любому базису.
   • На каждом шаге: вычесть проекции на уже построенные векторы, нормировать.

3. Нахождение ортогонального дополнения:

   • Найти базис подпространства $U$.
   • Решить систему уравнений $(x, u_i) = 0$ для всех базисных векторов $u_i$.

4. Вычисление проекции вектора на подпространство:

   • Если есть ОНБ подпространства: $\operatorname{pr}_U x = \sum (x, e_i) e_i$.
   • Если базис не ортонормирован: через матрицу Грама.

5. Приведение квадратичной формы к главным осям:

   • Записать матрицу квадратичной формы.
   • Найти её собственные значения и собственные векторы.
   • В базисе из собственных векторов форма имеет канонический вид.

6. Классификация ортогональных операторов в $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}^3$:

   • $\mathbb{R}^2$: поворот ($\det = 1$) или отражение ($\det = -1$).
   • $\mathbb{R}^3$: вращение вокруг оси (собственное значение $1$), отражение (собственное значение $-1$) или поворот с отражением.

7. Вычисление сингулярного разложения:

   • Найти $A^T A$, найти её собственные значения $\lambda_i$ и собственные векторы $v_i$.
   • $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$, $V = [v_1, \dots, v_n]$.
   • $u_i = \frac{1}{\sigma_i} A v_i$, $U = [u_1, \dots, u_m]$.

8. Нахождение полярного разложения:

   • $P = \sqrt{A^T A}$ (через спектральное разложение).
   • $U = A P^{-1}$.

9. Вычисление числа обусловленности: $\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$.

Типовые ошибки

1. Путаница между ортогональностью и линейной независимостью: Ортогональные векторы всегда линейно независимы, обратное неверно.

2. Неправильный порядок в процессе Грама–Шмидта: Сначала вычитаются проекции на все предыдущие векторы, затем нормирование. Нормирование на промежуточных шагах не обязательно, но удобно.

3. Ошибки в комплексном случае: В унитарном пространстве $(x, y) = \sum x_i \overline{y_i}$, а не $\sum x_i y_i$. Линейность по второму аргументу отсутствует.

4. Игнорирование эрмитовости: Для комплексных матриц $A^* = \bar{A}^T$, а не $A^T$.

5. Спектральная теорема: Для диагонализуемости самосопряжённого оператора достаточно, но не все диагонализуемые операторы самосопряжены.

6. Норма оператора: $\|\mathcal{A}\| = \max |\lambda_i|$ только для самосопряжённых (нормальных) операторов. В общем случае $\|\mathcal{A}\| = \sigma_{\max}$.

7. Сингулярные числа: Это не собственные значения, а корни из собственных значений $A^T A$.

8. Ортогональные проекторы: Проектор $P$ ортогонален $\iff$ $P^2 = P$ и $P^* = P$. Просто $P^2 = P$ не гарантирует ортогональности.

9. Полярное разложение: $P = \sqrt{A^T A}$ всегда положителен, $U = A P^{-1}$ ортогонален только если $A$ невырожден.

10. Число обусловленности: Зависит от выбора нормы. Для евклидовой нормы $\kappa_2(A) = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}$.

11. Закон инерции: Применим только к вещественным квадратичным формам. Сигнатура инвариантна относительно невырожденных линейных замен.

12. Отношение Рэлея: Экстремумы $R(x)$ дают собственные значения только для самосопряжённых операторов.

Мнемонические правила

1. Грам–Шмидт: "Из вектора вычитаем проекции на все предыдущие, остаток нормируем".

2. Пифагор: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

3. Спектральная теорема: "Симметричную матрицу можно повернуть так, что она станет диагональной".

4. Сингулярное разложение: "Любую матрицу можно представить как поворот, растяжение и ещё один поворот".

5. Число обусловленности: "Во сколько раз может вырасти ошибка при решении системы".

6. Эрмитов оператор: "Собственные значения вещественные, собственные векторы ортогональны".

7. Унитарный оператор: "Сохраняет длину, собственные значения на единичной окружности".

Приложения в физике и инженерии

1. Квантовая механика: Гильбертово пространство — унитарное пространство бесконечной размерности. Наблюдаемые — самосопряжённые операторы, эволюция — унитарные операторы.

2. Теория колебаний: Матрица жёсткости и матрица масс — симметричные положительно определённые. Обобщённая задача на собственные значения $Kx = \omega^2 Mx$.

3. Механика твёрдого тела: Тензор инерции — симметричный оператор в $\mathbb{R}^3$. Главные оси инерции — собственные векторы.

4. Обработка сигналов: Метод главных компонент (PCA) — собственные векторы ковариационной матрицы.

5. Машинное обучение: Сингулярное разложение — основа для понижения размерности (SVD, LSA).

6. Численные методы: Число обусловленности определяет устойчивость решения линейных систем.

7. Теория относительности: Пространство Минковского — псевдоевклидово пространство (скалярное произведение не положительно определено).

8. Кристаллография: Ортогональные преобразования описывают симметрии кристаллов.

Таблицы для шпаргалки

Сравнение евклидовых и унитарных пространств

Типы операторов

Сингулярное разложение

Процесс Грама–Шмидта

8. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ТЕНЗОРЫ

Краткий справочник символов и обозначений

8.1. Аффинные пространства

Определения

1. Аффинное пространство $\mathbb{A}$ (над $V$): Множество точек, для которых каждой упорядоченной паре точек $(A, B)$ сопоставлен вектор $\overrightarrow{AB} \in V$, причем:
   • $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
   • Для любой точки $A$ и вектора $v$ существует единственная точка $B$ с $\overrightarrow{AB} = v$.
2. Размерность аффинного пространства: $\dim \mathbb{A} = \dim V$.
3. Аффинная система координат: Точка $O$ (начало) и базис $\{e_i\}$ в $V$.
4. Гиперплоскость: Множество точек $M$, удовлетворяющих линейному уравнению $f(M) = 0$, где $f$ — аффинная функция.
5. $k$-мерная плоскость: Множество точек $M = A_0 + \sum_{i=1}^k t_i v_i$, где $\{v_i\}$ линейно независимы.
6. Аффинное преобразование: Отображение $f: \mathbb{A} \to \mathbb{A}$, сохраняющее аффинную структуру. В координатах: $x' = Ax + b$.
7. Аффинная комбинация точек: Выражение вида $\sum_{i=1}^k \alpha_i A_i$, где $\sum \alpha_i = 1$.
8. Выпуклая комбинация: Аффинная комбинация с неотрицательными коэффициентами ($\alpha_i \ge 0$).
9. Барицентрические координаты: Координаты точки относительно фиксированного набора точек (вершин симплекса).
10. Параллельный перенос: Отображение $T_v: \mathbb{A} \to \mathbb{A}$, заданное как $A \mapsto B$, где $\overrightarrow{AB} = v$.
11. Аффинное подпространство: Подмножество $\mathbb{A}' \subseteq \mathbb{A}$, само являющееся аффинным пространством над подпространством $V' \subseteq V$.
12. Направляющее подпространство: Линейное подпространство $V'$, ассоциированное с аффинным подпространством $\mathbb{A}'$.

Понятия

• Точка, вектор, система координат, гиперплоскость, линейное многообразие, барицентрические координаты, параллельный перенос, аффинное преобразование, выпуклая оболочка, симплекс.

Аксиомы

1. Аксиома сложения векторов точек: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ для любых $A, B, C \in \mathbb{A}$.
2. Аксиома существования точки: $\forall A \in \mathbb{A}, \forall v \in V, \exists! B \in \mathbb{A}: \overrightarrow{AB} = v$.

Теоремы

1. Теорема 8.1.1: Через любые $k+1$ точек, не лежащих в одной $(k-1)$-мерной плоскости, проходит единственная $k$-мерная плоскость.
2. Теорема 8.1.2 (о барицентрических координатах): Любая точка в $k$-мерном аффинном пространстве однозначно определяется своими барицентрическими координатами относительно $k+1$ точек общего положения.
3. Теорема 8.1.3 (о параллельных плоскостях): Две $k$-мерные плоскости параллельны, если их направляющие подпространства совпадают.
4. Теорема 8.1.4 (о пересечении плоскостей): Пересечение двух аффинных подпространств либо пусто, либо является аффинным подпространством.
5. Теорема 8.1.5 (о размерности суммы): $\dim(\mathbb{A}_1 + \mathbb{A}_2) = \dim \mathbb{A}_1 + \dim \mathbb{A}_2 - \dim(\mathbb{A}_1 \cap \mathbb{A}_2)$.

Формулы

1. (8.1.1) Аффинное преобразование в координатах: $x' = Ax + b$, где $A$ — матрица линейного преобразования, $b$ — вектор переноса.
2. (8.1.2) Уравнение гиперплоскости: $a_1x_1 + \dots + a_nx_n + a_0 = 0$.
3. (8.1.3) Параметрическое уравнение $k$-мерной плоскости: $M = A_0 + \sum_{i=1}^k t_i v_i$.
4. (8.1.4) Барицентрические координаты: $P = \sum_{i=0}^k \lambda_i A_i$, при условии $\sum \lambda_i = 1$.
5. (8.1.5) Условие параллельности плоскостей: направляющие подпространства $V_1$ и $V_2$ совпадают ($V_1 = V_2$).

8.2. Тензорная алгебра

Определения

1. Тензор типа $(p, q)$: Полилинейная функция от $p$ ковекторов и $q$ векторов. В координатах задается массивом чисел $T^{i_1...i_p}_{j_1...j_q}$ с определенным законом преобразования.
2. Валентность (ранг) тензора: Число индексов $(p+q)$.
3. Ковариантные индексы: Нижние индексы (преобразуются как базисные векторы).
4. Контравариантные индексы: Верхние индексы (преобразуются как координаты вектора).
5. Символ Кронекера $\delta^i_j$: Единичный тензор (1 при $i=j$, 0 иначе).
6. Дискриминантный тензор ($\varepsilon_{ijk...}$): Абсолютно антисимметричный единичный тензор.
7. Метрический тензор $g_{ij}$: Тензор, задающий скалярное произведение в базисе: $(\vec{e}_i, \vec{e}_j) = g_{ij}$.
8. Контравариантный метрический тензор $g^{ij}$: Матрица, обратная к $(g_{ij})$: $g^{ik}g_{kj} = \delta^i_j$.
9. Внешняя форма (р-форма): Полностью антисимметричный ковариантный тензор валентности $(0, p)$.
10. Симметричный тензор: Тензор, не меняющийся при перестановке любых двух индексов одного типа.
11. Антисимметричный тензор: Тензор, меняющий знак при перестановке любых двух индексов одного типа.
12. Ковектор: Линейный функционал на векторах; компоненты преобразуются с обратной матрицей перехода.
13. Биортогональный базис: Базис $\{e^i\}$, такой что $(e^i, e_j) = \delta^i_j$.
14. Тензорное произведение ($\otimes$): Операция, комбинирующая тензоры, увеличивающая валентность.
15. Свертывание: Суммирование по одному верхнему и одному нижнему индексу.

Понятия

• Валентность, ковариантность, контравариантность, свертывание, симметрирование, альтернирование, метрика, внешняя форма, бивектор, тензорное поле, поднятие и опускание индексов, инвариант.

Аксиомы

1. Аксиома тензорного характера: Объект является тензором, если его компоненты преобразуются по тензорному закону при замене базиса.
2. Аксиома метричности: Метрический тензор симметричен ($g_{ij} = g_{ji}$) и невырожден ($\det(g_{ij}) \neq 0$).

Теоремы

1. Теорема 8.2.1: Множество всех тензоров данного типа образует линейное пространство.
2. Теорема 8.2.2: Любой тензор 2-го ранга может быть единственным образом представлен как сумма симметричного и антисимметричного.
3. Теорема 8.2.3 (о базисе тензорного пространства): Множество тензоров $e_{i_1} \otimes \dots \otimes e_{i_p} \otimes e^{j_1} \otimes \dots \otimes e^{j_q}$ образует базис пространства тензоров типа $(p, q)$.
4. Теорема 8.2.4 (о поднятии/опускании индексов): Операции поднятия и опускания индексов взаимно обратны.
5. Теорема 8.2.5: Инвариантность свертки: результат свертывания тензора не зависит от выбора базиса.

Формулы

1. (8.2.1) Закон преобразования для тензора типа $(1,1)$: $$ T'^i_j = \sum_{k,l} \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} T^k_l. $$
2. (8.2.2) Симметризация: $T_{(ij)} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji})$.
3. (8.2.3) Альтернирование: $T_{[ij]} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})$.
4. (8.2.4) Поднятие индекса: $T^i = g^{ij} T_j$.
5. (8.2.5) Опускание индекса: $T_i = g_{ij} T^j$.
6. (8.2.6) Скалярное произведение через метрику: $(x, y) = g_{ij} x^i y^j$.
7. (8.2.7) Длина вектора: $|x|^2 = g_{ij} x^i x^j$.
8. (8.2.8) Векторное произведение в 3D: $c^i = \sqrt{g} \, \varepsilon^{ijk} a_j b_k$.
9. (8.2.9) Объём параллелепипеда: $V = \sqrt{|\det(g_{ij})|} \cdot |\det(a^i_j)|$.
10. (8.2.10) Символ Кронекера: $\delta^i_j = 1$ при $i=j$, $0$ иначе.

Типовые задачи и алгоритмы решения

Для аффинных пространств и тензоров:

1. Построение аффинной системы координат: Выбор начала $O$ и базиса $\{e_i\}$ в $V$.
2. Нахождение уравнения плоскости по точкам: Составление матрицы координат разностей векторов, нахождение ранга, запись уравнения через определитель.
3. Проверка принадлежности точки плоскости: Подстановка координат точки в уравнение плоскости или проверка разложения вектора на направляющие.
4. Нахождение пересечения плоскостей: Решение системы линейных уравнений, описывающих плоскости.
5. Вычисление барицентрических координат: Решение системы линейных уравнений $\sum \lambda_i A_i = P, \sum \lambda_i = 1$.
6. Определение типа тензора: Подсчет верхних и нижних индексов.
7. Проверка тензорного характера: Проверка закона преобразования компонент при замене базиса.
8. Свертывание тензора: Выбор пары индексов (верхний и нижний) и суммирование.
9. Поднятие/опускание индексов: Использование метрического тензора $g_{ij}$ или $g^{ij}$.
10. Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части: Применение формул симметризации и альтернирования.
11. Вычисление инвариантов: Нахождение следа (свертки) тензора.

Типовые ошибки

1. Сложение точек: Попытка сложить две точки напрямую ($A + B$), что не определено в аффинном пространстве.
2. Нарушение условия аффинности: Использование комбинации точек $\sum \alpha_i A_i$, где $\sum \alpha_i \neq 1$.
3. Путаница координат: Смешение координат точек и координат векторов (векторы инвариантны к переносу начала, точки — нет).
4. Неверное условие параллельности: Считание плоскостей параллельными только при совпадении нормалей, без учета размерности направляющих подпространств.
5. Нарушение баланса индексов: Сложение или приравнивание тензоров с разным расположением индексов.
6. Неверное суммирование: Суммирование по двум верхним или двум нижним индексам (нарушение правила Эйнштейна).
7. Игнорирование метрики: Попытка поднять индекс без использования метрического тензора.
8. Путаница с символом Леви-Чивиты: Неучет множителя $\sqrt{g}$ при переходе от ковариантного к контравариантному виду в искривленных координатах.
9. Неверное преобразование: Применение закона преобразования векторов к компонентам тензора высшего ранга без учета всех индексов.

Мнемонические правила

1. Аффинная комбинация: "Сумма весов равна единице" ($\sum \alpha_i = 1$) — иначе это не точка, а вектор.
2. Тензорные индексы: "Верх — свободный (контравариантный), Низ — привязанный (ковариантный)".
3. Свертка: "Соединяем верх с низом, индекс исчезает".
4. Метрика: "Мост между верхом и низом" (поднимает и опускает индексы).
5. Символ Кронекера: "Фильтр равенства" (пропускает только когда индексы совпадают).
6. Антисимметрия: "Перестановка меняет знак" (как определитель при перестановке строк).
7. Объем: "Корень из детерминанта метрики" — поправка на искажение сетки координат.

Приложения в физике и инженерии

1. Общая теория относительности: Пространство-время — псевдориманово многообразие. Метрический тензор $g_{\mu\nu}$ описывает гравитацию. Тензор энергии-импульса $T_{\mu\nu}$ — источник поля.
2. Механика сплошных сред: Тензор напряжений $\sigma_{ij}$ и тензор деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны законом Гука (тензор 4-го ранга).
3. Электромагнетизм: Тензор электромагнитного поля $F_{\mu\nu}$ объединяет электрическое и магнитное поля в единую сущность.
4. Кристаллография: Тензор диэлектрической проницаемости описывает анизотропию кристаллов.
5. Машинное обучение: Тензоры — основа данных в нейросетях (многомерные массивы). Свертки в CNN — тензорные операции.
6. Компьютерная графика: Аффинные преобразования (сдвиг, масштаб, поворот) задаются матрицами $4 \times 4$ в однородных координатах.
7. Навигация и геодезия: Переход между системами координат (WGS84, локальные) использует аффинные и тензорные преобразования.
8. Квантовая химия: Интегралы перекрывания орбиталей вычисляются с использованием тензорных методов.

Таблицы для шпаргалки

Сравнение аффинного и линейного пространств

Типы тензоров по валентности

Операции над тензорами

Символы и их свойства

9. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

Краткий справочник символов и обозначений

9.1. Нормальные решения и метод регуляризации

Обозначения

• $\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m$ — вещественные линейные пространства.
• $\| \cdot \|$ — евклидова норма вектора или матрицы.
• $A^T$ — транспонированная матрица.
• $\operatorname{Im} A$ — образ матрицы $A$.
• $\operatorname{Ker} A$ — ядро матрицы $A$.
• $\sigma_i$ — сингулярные числа матрицы.

Понятия

• Нормальное решение, псевдорешение, некорректная задача, регуляризация, параметр регуляризации, псевдообратная матрица, число обусловленности, сингулярное разложение, L-кривая, метод невязки.

Определения

1. Нормальное решение системы: Для совместной неопределенной системы $Ax=b$ — решение $x_0$ с минимальной нормой $\|x_0\|$.
2. Псевдорешение (квазирешение): Для несовместной системы $Ax=b$ — вектор $x$, минимизирующий невязку $\|Ax - b\|$. Нормальное псевдорешение — псевдорешение с минимальной нормой.
3. Некорректная задача: Задача, где решение либо не существует, либо не единственно, либо не устойчиво к малым изменениям входных данных (нарушение условий Адамара).
4. Метод регуляризации Тихонова: Метод нахождения устойчивого приближенного решения некорректно поставленных задач путем минимизации функционала невязки с штрафом за норму решения.
5. Параметр регуляризации ($\alpha > 0$): Параметр, контролирующий баланс между точностью ($\|Ax-b\|^2$) и устойчивостью ($\|x\|^2$).
6. Псевдообратная матрица (Мура-Пенроуза) $A^+$: Матрица, которая для любой СЛАУ $Ax=b$ дает нормальное псевдорешение $x_0 = A^+ b$. Удовлетворяет условиям: $AA^+A=A$, $A^+AA^+=A^+$, $(AA^+)^T=AA^+$, $(A^+A)^T=A^+A$.
7. Число обусловленности матрицы: $\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^+\|$, характеризует устойчивость решения СЛАУ к возмущениям.
8. Регуляризирующий функционал: Функционал вида $\Phi_\alpha(x) = \|Ax - b\|^2 + \alpha \|x\|^2$, минимизируемый в методе Тихонова.

Аксиомы (Принципы)

1. Принцип устойчивости: Малое изменение входных данных должно приводить к малому изменению решения.
2. Принцип регуляризации: Введение дополнительного ограничения (штрафа) позволяет восстановить устойчивость некорректной задачи.
3. Принцип выбора параметра: Параметр $\alpha$ должен стремиться к нулю при стремлении погрешности данных к нулю, но не слишком быстро.

Теоремы

1. Теорема 10.1.1 (О существовании и единственности): Для любой системы линейных уравнений существует единственное нормальное псевдорешение.
2. Теорема 10.1.2 (Тихонова): Решение регуляризованной системы $(A^T A + \alpha E)x_\alpha = A^T b$ единственно и стремится к нормальному псевдорешению при $\alpha \to 0+$.
3. Теорема 10.1.3 (О псевдообратной матрице): Псевдообратная матрица $A^+$ существует и единственна для любой матрицы $A$.
4. Теорема 10.1.4 (О сингулярном разложении): Для любой матрицы $A$ существует SVD: $A = U\Sigma V^T$.
5. Теорема 10.1.5 (О нормальном псевдорешении через SVD): Если $A = U\Sigma V^T$, то $A^+ = V\Sigma^+ U^T$, и нормальное псевдорешение $x_0 = A^+b$.
6. Теорема 10.1.6 (О числе обусловленности): Большое $\kappa(A)$ означает плохую обусловленность системы и высокую чувствительность к ошибкам.

Формулы

1. (10.1.1) Нормальное псевдорешение: $x_0 = A^+ b$.
2. (10.1.2) Уравнение Эйлера для задачи наименьших квадратов: $A^T A x = A^T b$.
3. (10.1.3) Регуляризованная система Тихонова (нулевого порядка): $(A^T A + \alpha E)x_\alpha = A^T b$.
4. (10.1.4) Псевдообратная матрица через SVD: если $A = U\Sigma V^T$, то $$ A^+ = V \Sigma^+ U^T, $$ где $\Sigma^+$ получается заменой ненулевых сингулярных чисел на обратные.
5. (10.1.5) Нормальное псевдорешение через SVD: $$ x_0 = V \Sigma^+ U^T b. $$
6. (10.1.6) Число обусловленности: $$ \kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}. $$
7. (10.1.7) Решение регуляризованной системы: $$ x_\alpha = (A^T A + \alpha E)^{-1} A^T b. $$
8. (10.1.8) Критерий выбора параметра регуляризации (L‑кривая): минимум кривизны графика $\log\|Ax_\alpha - b\|$ vs $\log\|x_\alpha\|$.

Типовые задачи и алгоритмы решения

1. Выбор параметра регуляризации $\alpha$:
   • По L‑кривой: поиск точки максимального изгиба графика зависимости нормы решения от нормы невязки.
   • По методу невязки: решение уравнения $\|Ax_\alpha - b\| = \delta$, где $\delta$ — оценка погрешности данных.
2. Вычисление нормального псевдорешения:
   • Через псевдообратную матрицу: $x_0 = A^+ b$.
   • Через SVD: разложение $A$, инвертирование $\Sigma$, умножение $V \Sigma^+ U^T b$.
3. Оценка обусловленности: Вычисление отношения максимального и минимального сингулярных чисел.
4. Решение несовместной системы: Минимизация функционала $\|Ax - b\|^2$ через нормальные уравнения.

Типовые Ошибки

1. Игнорирование обусловленности: Решение плохо обусловленных систем прямыми методами без регуляризации приводит к катастрофическим ошибкам.
2. Неверный выбор $\alpha$: Слишком малое $\alpha$ не устраняет неустойчивость, слишком большое — сильно искажает решение.
3. Путаница псевдообратной и обратной: Использование $A^{-1}$ для вырожденных или прямоугольных матриц.
4. Ошибка в SVD: Неверное обращение сингулярных чисел (обращение нулевых или близких к нулю без регуляризации).
5. Неучет погрешности данных: Применение методов для точных данных к зашумленным измерениям.

9.2. Итерационные методы решения СЛАУ

Обозначения

• $x^{(k)}$ — вектор приближения на $k$-й итерации.
• $B$ — матрица итераций.
• $g$ — вектор свободных членов итерационного процесса.
• $r^{(k)}$ — вектор невязки на $k$-й итерации.
• $p^{(k)}$ — вектор направления поиска (в градиентных методах).
• $\omega$ — параметр релаксации.

Понятия

• Итерационный метод, сходимость, спектральный радиус, диагональное преобладание, скорость сходимости, стационарный метод, нестационарный метод, предобуславливание, метод сопряжённых градиентов, невязка.

Определения

1. Итерационный метод: Метод нахождения решения в виде предела последовательности векторов $x^{(k)}$.
2. Метод простой итерации: Приведение системы $Ax=b$ к виду $x = Bx + g$ и итерации $x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + g$.
3. Метод Якоби: Покомпонентный метод, использующий значения только с предыдущей итерации.
4. Метод Зейделя: Покомпонентный метод, использующий при вычислении $x_i^{(k+1)}$ уже найденные значения $x_j^{(k+1)}$ для $j < i$.
5. Метод верхней релаксации (SOR): Ускорение метода Зейделя с параметром релаксации $\omega$.
6. Спектральный радиус ($\rho(B)$): Максимум модулей собственных значений матрицы $B$.
7. Диагональное преобладание: Матрица $A$ обладает свойством $|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$ для всех $i$.
8. Предобуславливание: Преобразование системы $Ax=b$ к виду $M^{-1}Ax = M^{-1}b$ для улучшения сходимости.
9. Метод сопряжённых градиентов (CG): Итерационный метод для симметричных положительно определённых матриц, минимизирующий ошибку в энергетической норме.

Аксиомы (Принципы)

1. Принцип сходимости: Итерационный процесс сходится тогда и только тогда, когда спектральный радиус матрицы перехода меньше единицы.
2. Принцип монотонности невязки: В методах минимизации (CG) норма невязки монотонно убывает.
3. Принцип конечной сходимости: Для некоторых методов (CG) в точной арифметике решение достигается за конечное число шагов ($\le n$).

Теоремы

1. Теорема 10.2.1 (Необходимое и достаточное условие сходимости): Итерационный метод $x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + g$ сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда $\rho(B) < 1$.
2. Теорема 10.2.2 (Достаточное условие): Если матрица $A$ имеет строгое диагональное преобладание, то методы Якоби и Зейделя сходятся.
3. Теорема 10.2.3 (О скорости сходимости): Скорость сходимости метода простой итерации определяется $\rho(B)$. Чем меньше $\rho(B)$, тем быстрее сходимость.
4. Теорема 10.2.4 (О методе CG): Для симметричной положительно определённой матрицы метод сопряжённых градиентов сходится не более чем за $n$ итераций.
5. Теорема 10.2.5 (О сходимости SOR): При $0 < \omega < 2$ и некоторых условиях на $A$ (например, положительная определённость) метод SOR сходится.
6. Теорема 10.2.6 (О предобуславливании): Если матрица $M$ хорошо аппроксимирует $A$, то спектральный радиус матрицы итераций $\rho(M^{-1}A)$ значительно меньше $\rho(A)$.

Формулы

1. (10.2.1) Разложение матрицы: $$ A = D + L + U, $$ где $D$ — диагональная, $L$ — нижняя треугольная, $U$ — верхняя треугольная.
2. (10.2.2) Итерация Якоби: $$ x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)}) $$ или поэлементно: $$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)} \right). $$
3. (10.2.3) Итерация Зейделя: $$ x^{(k+1)} = (D+L)^{-1}(b - Ux^{(k)}) $$ или поэлементно: $$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} x_j^{(k)} \right). $$
4. (10.2.4) Верхняя релаксация (SOR): $$ x^{(k+1)} = (D+\omega L)^{-1}(\omega b - (\omega U + (\omega-1)D)x^{(k)}), $$ где $0 < \omega < 2$.
5. (10.2.5) Метод сопряжённых градиентов: $$ \begin{cases} r^{(k)} = b - A x^{(k)}, \\ \alpha_k = \dfrac{(r^{(k)}, r^{(k)})}{(A p^{(k)}, p^{(k)})}, \\ x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k p^{(k)}, \\ r^{(k+1)} = r^{(k)} - \alpha_k A p^{(k)}, \\ \beta_k = \dfrac{(r^{(k+1)}, r^{(k+1)})}{(r^{(k)}, r^{(k)})}, \\ p^{(k+1)} = r^{(k+1)} + \beta_k p^{(k)}. \end{cases} $$
6. (10.2.6) Критерий остановки итераций (общий): $$ \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \varepsilon \quad \text{или} \quad \|r^{(k)}\| = \|b - A x^{(k)}\| < \delta. $$
7. (10.2.7) Оптимальный параметр релаксации для SOR (модельный случай): $$ \omega_{\text{opt}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho(B_J)^2}}, $$ где $B_J = D^{-1}(L+U)$ — матрица итераций метода Якоби.
8. (10.2.8) Матрица итераций для метода Якоби: $B_J = -D^{-1}(L + U)$.
9. (10.2.9) Матрица итераций для метода Зейделя: $B_G = -(D + L)^{-1} U$.

Типовые задачи и алгоритмы решения

1. Проверка условий сходимости:
   • Для метода Якоби и Зейделя: проверить диагональное преобладание матрицы $A$.
   • Вычислить спектральный радиус $\rho(B)$ матрицы итераций.
2. Реализация метода Якоби:
   • Разложить $A = D + L + U$.
   • Задать начальное приближение $x^{(0)}$.
   • Итерировать по формуле $x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)})$.
3. Реализация метода Зейделя:
   • Использовать уже вычисленные компоненты $x_j^{(k+1)}$ для $j < i$ при вычислении $x_i^{(k+1)}$.
4. Настройка SOR:
   • Подобрать оптимальный параметр $\omega$ (экспериментально или по оценке $\rho(B_J)$).
5. Применение метода CG:
   • Проверить симметричность и положительную определённость $A$.
   • Реализовать алгоритм CG с критериями остановки по невязке.
6. Использование предобуславливания:
   • Выбрать матрицу $M \approx A$ (например, диагональную).
   • Решить систему $M^{-1}Ax = M^{-1}b$ итерационным методом.

Типовые Ошибки

1. Отсутствие проверки сходимости: Запуск итерационного процесса без проверки условия $\rho(B) < 1$ или диагонального преобладания.
2. Неверный критерий остановки: Остановка по малому изменению аргумента при большой невязке (застой метода).
3. Накопление ошибок округления: В методах типа CG без переортогонализации векторов направления.
4. Неверный выбор $\omega$ в SOR: Выбор $\omega$ вне диапазона $(0, 2)$ приводит к расходимости.
5. Применение CG к несимметричным матрицам: Метод сопряжённых градиентов требует симметричности и положительной определённости.
6. Игнорирование разреженности: Использование плотных матричных операций для разреженных систем, что увеличивает память и время.

Мнемонические правила

1. Регуляризация: "Штраф за сложность спасает от шума".
2. Псевдообратная: "Обратная для всех, даже для прямоугольных".
3. Якоби vs Зейдель: "Якоби ждет всех, Зейдель берет свежее".
4. Спектральный радиус: "Если меньше единицы — сойдёмся, если больше — разбежимся".
5. SOR: "Релаксация — это ускорение, но не более чем в два раза".
6. Обусловленность: "Большое число — большая беда (ошибка)".
7. Невязка: "Остаток должен стать меньше допуска".

Приложения в физике и инженерии

1. Обработка экспериментальных данных: Восстановление сигналов зашумленных измерений (регуляризация Тихонова).
2. Компьютерная томография: Решение больших разреженных систем уравнений (итерационные методы, ART/SIRT).
3. Конечно-элементный анализ (FEA): Решение систем уравнений механики деформируемого тела (метод сопряжённых градиентов).
4. Электродинамика: Решение уравнений Максвелла в сеточных методах (предобуславливание).
5. Машинное обучение: Решение задач наименьших квадратов в линейной регрессии (гребневая регрессия — аналог регуляризации).
6. Геофизика: Обратные задачи гравиметрии и магниторазведки (некорректные задачи).
7. Финансы: Калибровка моделей по рыночным данным (регуляризация нестабильных решений).
8. Криптография: Решение систем линейных уравнений над конечными полями (специфические итерационные методы).

Таблицы для шпаргалки

Сравнение методов регуляризации и псевдообращения

Сравнение итерационных методов

Критерии остановки итераций

Параметры методов

ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Краткий справочник символов и обозначений

Раздел 10.1. Элементы теории групп

Обозначения

• $G, H$ — группы.
• $\cdot$ — групповая операция (умножение).
• $e$ — нейтральный (единичный) элемент.
• $a^{-1}$ — элемент, обратный к $a$.
• $H \subset G$ — подгруппа.
• $G/H$ — факторгруппа.
• $Z(G)$ — центр группы.
• $\operatorname{ord}(g)$ — порядок элемента.
• $\operatorname{Cl}(g)$ — класс сопряжённости элемента $g$.

Понятия

• Группа, абелева группа, подгруппа, нормальная подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм, ядро, образ, факторгруппа, порядок группы, порядок элемента, циклическая группа, класс сопряжённости, центр группы, группа перестановок, ортогональная группа, группа Лоренца.

Определения

1. Группа $(G, \cdot)$: Множество $G$ с бинарной операцией, удовлетворяющей аксиомам ассоциативности, наличия нейтрального элемента и наличия обратного элемента.
2. Абелева (коммутативная) группа: Группа, в которой $a \cdot b = b \cdot a$ для всех $a, b \in G$.
3. Подгруппа $H \subset G$: Подмножество группы $G$, само являющееся группой относительно той же операции.
4. Гомоморфизм групп $\phi: G \to H$: Отображение, сохраняющее операцию: $\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b)$.
5. Изоморфизм групп: Взаимно однозначный гомоморфизм.
6. Ядро гомоморфизма $\ker \phi$: Множество элементов $G$, отображающихся в нейтральный элемент группы $H$: $\ker \phi = \{g \in G \mid \phi(g) = e_H\}$.
7. Нормальная подгруппа $H \triangleleft G$: Подгруппа, для которой $gHg^{-1} = H$ для всех $g \in G$.
8. Факторгруппа $G/H$: Множество смежных классов $gH$ с операцией $(g_1H)(g_2H) = (g_1g_2)H$.
9. Циклическая группа: Группа, порождённая одним элементом: $G = \langle g \rangle = \{g^n : n \in \mathbb{Z}\}$.
10. Сопряжённые элементы: Элементы $a, b \in G$ сопряжены, если существует $g \in G$, такой что $b = gag^{-1}$.
11. Центр группы $Z(G)$: Множество элементов, коммутирующих со всеми элементами группы: $Z(G) = \{z \in G : zg = gz \ \forall g \in G\}$.
12. Группа линейных преобразований $GL(n, \mathbb{R})$: Группа всех невырожденных матриц $n \times n$.
13. Ортогональная группа $O(n)$: Подгруппа $GL(n)$, состоящая из ортогональных матриц ($Q^T Q = E$).
14. Группа Лоренца $O(1,3)$: Группа линейных преобразований в $\mathbb{R}^4$, сохраняющих интервал Минковского.

Аксиомы

1. Аксиома ассоциативности: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ для любых $a, b, c \in G$.
2. Аксиома нейтрального элемента: Существует $e \in G$, такой что $a \cdot e = e \cdot a = a$ для любого $a \in G$.
3. Аксиома обратного элемента: Для любого $a \in G$ существует $a^{-1} \in G$, такой что $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$.

Теоремы

1. Теорема 10.1.1 (Лагранжа): Порядок подгруппы делит порядок конечной группы: $|H| \mid |G|$.
2. Теорема 10.1.2 (о гомоморфизме): Образ гомоморфизма изоморфен факторгруппе по ядру: $\operatorname{Im} \phi \cong G/\ker \phi$.
3. Теорема 10.1.3 (о нормальной подгруппе): $H \triangleleft G$ тогда и только тогда, когда $H$ является ядром некоторого гомоморфизма.
4. Теорема 10.1.4 (о циклических группах): Любая подгруппа циклической группы циклична.
5. Теорема 10.1.5 (о классах сопряжённости): Группа разбивается на непересекающиеся классы сопряжённости.
6. Теорема 10.1.6 (о порядке элемента): Порядок любого элемента конечной группы делит порядок группы: $\operatorname{ord}(g) \mid |G|$.

Формулы

1. (10.1.1) Формула Лагранжа: $$ |G| = |H| \cdot [G:H], $$ где $[G:H]$ — индекс подгруппы.
2. (10.1.2) Порядок элемента делит порядок группы: $$ \operatorname{ord}(g) \mid |G|. $$
3. (10.1.3) Формула для центра группы: $$ Z(G) = \bigcap_{g \in G} C_G(g), $$ где $C_G(g)$ — централизатор элемента $g$.
4. (10.1.4) Число элементов в классе сопряжённости: $$ |\operatorname{Cl}(g)| = [G:C_G(g)]. $$
5. (10.1.5) Условие гомоморфизма: $$ \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b). $$
6. (10.1.6) Условие нормальности подгруппы: $$ gHg^{-1} = H \quad \forall g \in G. $$

Типовые задачи и алгоритмы решения

1. Проверка, является ли множество группой: Проверить аксиомы (замкнутость, ассоциативность, нейтральный элемент, обратные элементы).
2. Нахождение порядка элемента: Вычислить степени элемента $g, g^2, \dots$ до получения нейтрального элемента $e$.
3. Построение факторгруппы: Найти нормальные подгруппы, построить классы смежности, задать операцию на классах.
4. Определение изоморфизма: Построить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операцию.
5. Разложение на классы сопряжённости: Для каждого элемента $g$ найти множество $\{hgh^{-1} \mid h \in G\}$.
6. Проверка нормальности подгруппы: Проверить условие $gHg^{-1} \subseteq H$ для всех образующих $G$.

Типовые Ошибки

1. Путаница гомоморфизма и изоморфизма: Изоморфизм требует взаимной однозначности, гомоморфизм — нет.
2. Игнорирование нормальности: Попытка построить факторгруппу по подгруппе, не являющейся нормальной.
3. Ошибка в порядке элемента: Неверное вычисление степеней элемента в неабелевых группах.
4. Неверное определение центра: Включение элементов, не коммутирующих со всеми элементами группы.
5. Применение теоремы Лагранжа к бесконечным группам: Теорема формулируется для конечных групп (порядков).
6. Смешение операции группы: Использование сложения вместо умножения (или наоборот) в зависимости от записи группы.

Раздел 10.2. Псевдоевклидово пространство и тензоры

Обозначения

• $\mathbb{R}^{p,q}$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p, q)$.
• $g_{\mu\nu}$ — метрический тензор (ковариантный).
• $g^{\mu\nu}$ — метрический тензор (контравариантный).
• $x^\mu$ — контравариантные координаты (4-вектор).
• $x_\mu$ — ковариантные координаты.
• $\Lambda^\mu_{\ \nu}$ — матрица преобразования Лоренца.
• $s^2$ — квадрат интервала.
• $\gamma$ — лоренц-фактор.
• $u^\mu$ — 4-скорость.
• $p^\mu$ — 4-импульс.
• $F_{\mu\nu}$ — тензор электромагнитного поля.

Понятия

• Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского, интервал, световой конус, 4-вектор, преобразования Лоренца, буст, собственное время, мировая линия, ковариантность, контравариантность, поднятие и опускание индексов, тензор момента инерции, калибровочная инвариантность.

Определения

1. Псевдоевклидово пространство: Вещественное линейное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой $g$ (метрикой), не обязательно положительно определенной.
2. Пространство Минковского $\mathbb{R}^{1,3}$: Четырехмерное псевдоевклидово пространство с метрикой $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$.
3. Интервал: Квадрат длины вектора в пространстве Минковского: $s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2$.
4. Времениподобный вектор: Вектор, для которого $s^2 > 0$.
5. Пространственноподобный вектор: Вектор, для которого $s^2 < 0$.
6. Изотропный (светоподобный) вектор: Вектор, для которого $s^2 = 0$.
7. Преобразования Лоренца: Линейные преобразования координат, сохраняющие интервал (изометрии пространства Минковского).
8. Буст (лоренцево ускорение): Преобразование Лоренца, связывающее две инерциальные системы отсчета, движущиеся с относительной скоростью $v$.
9. 4-скорость: Вектор $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$, где $\tau$ — собственное время.
10. 4-импульс: Вектор $p^\mu = m u^\mu = (E/c, \mathbf{p})$.
11. Световой конус: Множество точек, связанных с началом координат светоподобными векторами.
12. Мировая линия: Траектория частицы в пространстве Минковского как функция собственного времени.

Аксиомы (Принципы)

1. Принцип инвариантности интервала: Интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
2. Принцип относительности: Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
3. Принцип причинности: События могут быть причинно связаны только если интервал между ними времениподобный или светоподобный.
4. Аксиома сигнатуры: Сигнатура метрики $(p, q)$ инвариантна относительно выбора базиса (закон инерции).

Теоремы

1. Теорема 10.2.1 (о сигнатуре): Сигнатура метрики $(p, q)$ инвариантна относительно выбора базиса.
2. Теорема 10.2.2 (о преобразованиях Лоренца): Преобразования Лоренца образуют группу $O(1,3)$.
3. Теорема 10.2.3 (о сохранении интервала): Преобразование сохраняет интервал тогда и только тогда, когда оно является преобразованием Лоренца.
4. Теорема 10.2.4 (о классификации векторов): В псевдоевклидовом пространстве $\mathbb{R}^{p,q}$ любой ненулевой вектор является либо времениподобным, либо пространственноподобным, либо изотропным.
5. Теорема 10.2.5 (о световом конусе): Световой конус разделяет пространство Минковского на области будущего, прошлого и пространственно отделённые области.
6. Теорема 10.2.6 (о 4-скорости): 4-скорость любой массивной частицы времениподобна и имеет постоянную длину $c$.
7. Теорема 10.2.7 (о сохранении энергии-импульса): В замкнутой системе 4-импульс сохраняется: $\sum p^\mu_i = \text{const}$.

Формулы

1. (10.2.1) Метрический тензор в $\mathbb{R}^{1,3}$: $$ g_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(1, -1, -1, -1). $$
2. (10.2.2) Скалярное произведение в $\mathbb{R}^{1,3}$: $$ (x, y) = g_{\mu\nu}x^\mu y^\nu = x^0 y^0 - x^1 y^1 - x^2 y^2 - x^3 y^3. $$
3. (10.2.3) Квадрат интервала: $$ s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2. $$
4. (10.2.4) Преобразование Лоренца (буст вдоль оси $x$): $$ \begin{cases} t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^2} x\right), \\ x' = \gamma (x - vt), \\ y' = y, \\ z' = z, \end{cases} $$ где $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
5. (10.2.5) Условие инвариантности метрики: $$ \Lambda^T g \Lambda = g. $$
6. (10.2.6) 4-скорость частицы: $$ u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma (c, v_x, v_y, z). $$
7. (10.2.7) Квадрат 4-скорости: $$ u^\mu u_\mu = c^2. $$
8. (10.2.8) 4-импульс: $$ p^\mu = m u^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z). $$
9. (10.2.9) Соотношение энергия-импульс: $$ E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2. $$
10. (10.2.10) Тензор момента инерции: $$ I_{ij} = \int_V \rho(\mathbf{r}) (r^2 \delta_{ij} - x_i x_j) \, dV. $$
11. (10.2.11) Кинетическая энергия вращения: $$ T = \frac{1}{2} I_{ij} \omega^i \omega^j. $$
12. (10.2.12) Закон преобразования тензора 2-го ранга: $$ T'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} T^{\alpha\beta}. $$
13. (10.2.13) Поднятие и опускание индексов: $$ x_\mu = g_{\mu\nu} x^\nu, \quad x^\mu = g^{\mu\nu} x_\nu. $$

Типовые задачи и алгоритмы решения

1. Классификация векторов: Вычислить $g(x,x)$ и определить тип вектора (времениподобный, пространственноподобный, изотропный).
2. Вычисление интервала: Для двух событий вычислить $s^2 = c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - \dots$.
3. Преобразование координат: Применить преобразование Лоренца для перехода между инерциальными системами отсчёта.
4. Вычисление 4-скорости: Найти производную координат по собственному времени $\tau$.
5. Расчёт энергии и импульса: Использовать соотношение $E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$.
6. Преобразование тензоров: Применить закон преобразования для заданного тензора.
7. Анализ светового конуса: Определить области будущего, прошлого и пространственного разделения.
8. Проверка инвариантности: Убедиться, что скалярное произведение 4-векторов не меняется при преобразовании Лоренца.

Типовые Ошибки

1. Ошибка знака в метрике: Использование сигнатуры $(-,+,+,+)$ вместо $(+,-,-,-)$ (или наоборот) без согласования формул.
2. Путаница ковариантных и контравариантных компонент: Неверное применение правил суммирования и преобразования.
3. Игнорирование $c$: Забывание множителей $c$ в формулах для времени и энергии.
4. Неверный $\gamma$: Использование формулы $\gamma = \sqrt{1 - v^2/c^2}$ вместо обратной величины.
5. Применение евклидовой геометрии: Попытка использовать теорему Пифагора для интервалов в пространстве Минковского.
6. Нарушение причинности: Интерпретация пространственноподобных интервалов как причинно связанных событий.
7. Ошибка в преобразовании тензоров: Неверное количество матриц Лоренца при преобразовании тензора высшего ранга.

Мнемонические правила

1. Группа: "Замкнуто, ассоциативно, есть ноль и минус" (нейтральный и обратный).
2. Лагранж: "Порядок части делит порядок целого".
3. Интервал: "Время плюс, пространство минус" (для сигнатуры $+---$).
4. Световой конус: "Свет делит мир на прошлое, будущее и elsewhere".
5. Лоренц: "Время смешивается с пространством при движении".
6. 4-импульс: "Энергия — это временная компонента импульса".
7. Индексы: "Верх бегает (контравариантный), низ лежит (ковариантный)".

Приложения в физике и инженерии

1. Специальная теория относительности: Описание движения частиц при скоростях, близких к скорости света.
2. Квантовая теория поля: Группы симметрии (калибровочные группы) определяют взаимодействия частиц.
3. Общая теория относительности: Обобщение псевдоевклидовой геометрии на искривленные пространства-времена.
4. Физика элементарных частиц: Классификация частиц по представлениям групп Пуанкаре и Лоренца.
5. Электродинамика: Ковариантная запись уравнений Максвелла через тензор $F_{\mu\nu}$.
6. Кристаллография: Точечные группы симметрии описывают структуру кристаллов.
7. Робототехника: Группы движений (SE(3)) описывают кинематику манипуляторов.
8. Криптография: Конечные группы используются в алгоритмах шифрования (RSA, эллиптические кривые).

Таблицы для шпаргалки

Сравнение типов векторов в пространстве Минковского

Основные группы симметрии

Преобразования Лоренца