Формула Бернулли: теория, примеры, разбор 10 задач с решениями

Формула Бернулли — один из фундаментальных инструментов теории вероятностей. С неё начинается понимание повторных независимых испытаний, и она служит мостом к более сложным распределениям: биномиальному, Пуассона, нормальному.

Что такое схема Бернулли

Схема Бернулли — последовательность из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие $A$ может произойти с одной и той же вероятностью $p$.

Три условия схемы Бернулли:

1. Независимость — исход одного испытания не влияет на другие
2. Постоянство вероятности — $P(A) = p$ одинакова во всех испытаниях
3. Два исхода — в каждом испытании либо «успех» (событие $A$ произошло), либо «неудача»

Классические примеры: подбрасывание монеты ($p = 0.5$), бросание игральной кости (успех = выпала шестёрка, $p = 1/6$), контроль качества деталей (успех = брак).

Формула Бернулли

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие $A$ наступит ровно $k$ раз:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

где:

• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании
• $q = 1 - p$ — вероятность неудачи

Откуда берётся формула

Рассмотрим конкретную последовательность из $n$ испытаний, в которой ровно $k$ успехов (скажем, первые $k$ — успехи, остальные $n-k$ — неудачи). Вероятность такой последовательности: $p^k \cdot q^{n-k}$.

Но успехи могут располагаться в любых $k$ позициях из $n$. Число способов выбрать $k$ позиций из $n$ равно $C_n^k$. Все варианты равновероятны и несовместны, поэтому:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

Свойства

• $\sum_{k=0}^{n} P_n(k) = (p + q)^n = 1$ — сумма вероятностей всех исходов равна 1
• Наивероятнейшее число успехов $k_0$ лежит в диапазоне: $np - q \leq k_0 \leq np + p$
• При больших $n$ распределение приближается к нормальному (теорема Муавра—Лапласа)

10 задач с решениями

Задача 1. Монета (базовая)

Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение:

$n = 5$, $k = 3$, $p = 0.5$, $q = 0.5$

$C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$

$P_5(3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125$

Ответ: 0.3125 (или 31.25%)

Задача 2. Монета (не менее)

Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет не менее 4 раз.

Решение:

Не менее 4 — это 4, 5 или 6 орлов. Считаем сумму:

$P_6(4) = C_6^4 \cdot (0.5)^6 = 15 \cdot 0.015625 = 0.234375$

$P_6(5) = C_6^5 \cdot (0.5)^6 = 6 \cdot 0.015625 = 0.09375$

$P_6(6) = C_6^6 \cdot (0.5)^6 = 1 \cdot 0.015625 = 0.015625$

$P(\text{не менее 4}) = 0.234375 + 0.09375 + 0.015625 = 0.34375$

Ответ: 0.34375 (≈34.4%)

Задача 3. Игральная кость

Игральную кость бросают 4 раза. Найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 2 раза.

Решение:

$n = 4$, $k = 2$, $p = 1/6 \approx 0.1667$, $q = 5/6 \approx 0.8333$

$C_4^2 = 6$

$P_4(2) = 6 \cdot (1/6)^2 \cdot (5/6)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36}$

$P_4(2) = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \approx 0.1157$

Ответ: 25/216 ≈ 0.1157 (≈11.6%)

Задача 4. Игральная кость (хотя бы раз)

Кость бросают 4 раза. Найти вероятность того, что шестёрка выпадет хотя бы один раз.

Решение:

Проще найти вероятность противоположного события — шестёрка не выпадет ни разу ($k = 0$):

$P_4(0) = C_4^0 \cdot (1/6)^0 \cdot (5/6)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (5/6)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.4823$

$P(\text{хотя бы раз}) = 1 - P_4(0) = 1 - 0.4823 = 0.5177$

Ответ: ≈0.5177 (≈51.8%)

Задача 5. Стрелок

Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 0.8. Производится 7 выстрелов. Найти вероятность ровно 5 попаданий.

Решение:

$n = 7$, $k = 5$, $p = 0.8$, $q = 0.2$

$C_7^5 = C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$

$P_7(5) = 21 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^2$

$(0.8)^5 = 0.32768$, $(0.2)^2 = 0.04$

$P_7(5) = 21 \cdot 0.32768 \cdot 0.04 = 21 \cdot 0.0131072 = 0.2752512$

Ответ: ≈0.2753 (≈27.5%)

Задача 6. Контроль качества

Вероятность брака детали равна 0.05. Из партии берут 10 деталей. Найти вероятность, что среди них ровно 2 бракованные.

Решение:

$n = 10$, $k = 2$, $p = 0.05$, $q = 0.95$

$C_{10}^2 = 45$

$P_{10}(2) = 45 \cdot (0.05)^2 \cdot (0.95)^8$

$(0.05)^2 = 0.0025$, $(0.95)^8 \approx 0.6634$

$P_{10}(2) = 45 \cdot 0.0025 \cdot 0.6634 = 45 \cdot 0.0016585 \approx 0.0746$

Ответ: ≈0.0746 (≈7.5%)

Задача 7. Наивероятнейшее число

Вероятность изготовления стандартной детали равна 0.9. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей среди 50 изготовленных.

Решение:

Наивероятнейшее число $k_0$ удовлетворяет неравенству:

$np - q \leq k_0 \leq np + p$

$n = 50$, $p = 0.9$, $q = 0.1$

$np - q = 50 \cdot 0.9 - 0.1 = 45 - 0.1 = 44.9$

$np + p = 50 \cdot 0.9 + 0.9 = 45 + 0.9 = 45.9$

$44.9 \leq k_0 \leq 45.9$

Единственное целое число в этом диапазоне: $k_0 = 45$.

Ответ: 45

Задача 8. Два стрелка (усложнённая)

Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность попадания первого — 0.7, второго — 0.6. Опыт повторяют 5 раз. Найти вероятность того, что оба попадут ровно в 3 опытах из 5.

Решение:

Вероятность того, что в одном опыте оба попадут: $p = 0.7 \cdot 0.6 = 0.42$

$n = 5$, $k = 3$, $p = 0.42$, $q = 0.58$

$C_5^3 = 10$

$P_5(3) = 10 \cdot (0.42)^3 \cdot (0.58)^2$

$(0.42)^3 = 0.074088$, $(0.58)^2 = 0.3364$

$P_5(3) = 10 \cdot 0.074088 \cdot 0.3364 = 10 \cdot 0.024923 \approx 0.2492$

Ответ: ≈0.2492 (≈24.9%)

Задача 9. Электрические лампочки

Вероятность перегорания лампочки за месяц равна 0.03. В люстре 8 лампочек. Найти вероятность, что за месяц перегорит не более одной.

Решение:

Не более одной — это 0 или 1 перегоревшая.

$P_8(0) = C_8^0 \cdot (0.03)^0 \cdot (0.97)^8 = (0.97)^8 \approx 0.7837$

$P_8(1) = C_8^1 \cdot (0.03)^1 \cdot (0.97)^7 = 8 \cdot 0.03 \cdot (0.97)^7$

$(0.97)^7 \approx 0.8079$

$P_8(1) = 8 \cdot 0.03 \cdot 0.8079 = 8 \cdot 0.024237 = 0.1939$

$P(\text{не более 1}) = 0.7837 + 0.1939 = 0.9776$

Ответ: ≈0.9776 (≈97.8%)

Задача 10. Экзамен (тест)

Тест состоит из 12 вопросов, на каждый — 4 варианта ответа, один правильный. Студент отвечает наугад. Найти вероятность сдать тест (набрать не менее 8 правильных ответов).

Решение:

$n = 12$, $p = 0.25$, $q = 0.75$

Нужна сумма $P_{12}(8) + P_{12}(9) + P_{12}(10) + P_{12}(11) + P_{12}(12)$

$P_{12}(8) = C_{12}^8 \cdot (0.25)^8 \cdot (0.75)^4 = 495 \cdot (0.25)^8 \cdot (0.75)^4$ $(0.25)^8 = \frac{1}{65536} \approx 0.00001526$, $(0.75)^4 \approx 0.3164$ $P_{12}(8) = 495 \cdot 0.00001526 \cdot 0.3164 \approx 0.00239$

$P_{12}(9) = C_{12}^9 \cdot (0.25)^9 \cdot (0.75)^3 = 220 \cdot (0.25)^9 \cdot (0.75)^3$ $(0.25)^9 \approx 0.000003815$, $(0.75)^3 \approx 0.4219$ $P_{12}(9) = 220 \cdot 0.000003815 \cdot 0.4219 \approx 0.000354$

$P_{12}(10) = C_{12}^{10} \cdot (0.25)^{10} \cdot (0.75)^2 = 66 \cdot (0.25)^{10} \cdot 0.5625$ $(0.25)^{10} \approx 0.0000009537$ $P_{12}(10) = 66 \cdot 0.0000009537 \cdot 0.5625 \approx 0.0000354$

$P_{12}(11) = 12 \cdot (0.25)^{11} \cdot 0.75 \approx 0.00000238$

$P_{12}(12) = (0.25)^{12} \approx 0.0000000596$

Сумма: $\approx 0.00239 + 0.000354 + 0.0000354 + 0.00000238 \approx 0.00278$

Ответ: ≈0.00278 (≈0.28%) — угадать практически невозможно

Связь с другими распределениями

Биномиальное распределение

Формула Бернулли — это частный случай биномиального распределения $Bin(n, p)$. Разница в том, что биномиальное распределение даёт вероятность для любого $k$ (не только одного конкретного), а формулой Бернулли мы считаем $P(X = k)$.

Приближение Пуассона

Если $n$ велико, а $p$ мало (обычно $n \geq 50$, $p \leq 0.1$, $np \leq 10$), используют приближение:

$$P_n(k) \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad \lambda = np$$

Приближение Муавра—Лапласа

При больших $n$ (обычно $npq \geq 20$):

$$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}} \cdot e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}$$

Когда формула Бернулли НЕ работает

Итоговая шпаргалка

Связанные статьи: Теория вероятностей и матстатистика — полная шпаргалка